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一类非线性算子的不动点定理 学生：阎继先 指导教师：李永金 摘要： 运用锥与半序理论和迭代方法，讨论了一类不具有连续性和紧性条件的非线性算子方程:解的存在唯一性，并给出了迭代序列收敛于解的误差估计。所得结果改进和推广了反向混合单调算子方程的某些已知相应结果。 关键词： 锥与半序；反向混合单调算子；非对称迭代；不动点 0 引言 在Banach空间中，混合单调算子和反向混合单调算子是两类重要的算子，广泛存在于非线性积分方程和微分方程的应用中。对于混合单调算子，应用迭代方法已得到了许多好的结果，但对反向混合单调算子方程解的存在性却很少涉及。本文对算子的连续性和紧性不做任何限制，通过引入谱半径知识，利用迭代技巧，讨论了半序空间中一类算子方程解的存在唯一性，并给出了迭代序列收敛于解的误差估计。 1 预备知识 总假设E为实Banach空间，θ表示E中的零元。 定义1 如果对E的某些元素x，y之间可以定义一种元素关系，记为：。具有： （a）对任给，都有； （b）如果 则； （c）如果 则， 则称“”是一种半序关系，E在该半序下是一个半序集。 定义2 非空闭凸集，如果P满足： （a）； （b）， 则称P是一个锥。于是在E中可引入半序关系如下：，如果。 定义3 如果存在，使得时，有，N为P的正规常数，锥P称为正规的。 定义4 设且，表示E中的序区域。若时，，称二元算子是反向混合单调算子。 定义5 设则极限存在，并称为有界线性算子T的谱半径。 定义6 设X和Y是半序集，，，如果蕴含着，则称A是D上的增算子。 定义7 如果，满足，则称是算子A的一个不动点。 2主要结果 定理1 设P是实Banach空间E中的正规锥，，是反向混合单调算子，是连续的非线性算子，若满足下列条件： （Ⅰ）存在正有界线性增算子,且满足：，且，其中I为恒等算子； （Ⅱ）存在常数，满足当时； （Ⅲ）当时， 则算子方程：在D上有唯一的不动点。构造迭代序列： ，，n=1,2,… 都收敛于且有误差估计： ，（N为常数）。 证明： 运用数学归纳法证明 （*）， 事实上，当n=1时，由条件（Ⅰ）及A是反向混合单调算子知 ， 则（*）式成立， 假设n=k时式（*）成立，即有，从而有： ，， 则n=k+1时，由A的反向混合单调性知： 则（*）式成立。 再由条件（Ⅱ）和A的反向混合单调性知： ， 令，对任给的，由 ， 可知存在，使得。 根据P的正规性递推得：。 又 ， ， 从而 ， ， 所以{}和{}是E中的Cauchy序列。 由E的完备性知，存在，使且， 再由与锥P的正规性，易知：。 由，令得：， 又由条件（Ⅲ）知： ， 再由 ， 同时令，得，即是方程在上的不动点。 下证的唯一性。 设也是方程在D中的不动点，则仿照上述方法由归纳法可得： ，令得，故是在D中的唯一不动点。 最后在和中， 令便得到误差估计式。 证毕 定理2 设P是实Banach空间E中的正规锥，，是反向混合单调算子，是连续的非线性算子，若满足下列条件： （Ⅰ）存在正有界线性增算子,且满足：，其中I为恒等算子； （Ⅱ）存在正有界线性算子，L的谱半径:，并且，使得,当时； （Ⅲ）当时， 则算子方程：在D上有唯一的不动点。构造迭代序列： ，，n=1,2,… 都收敛于,且有误差估计： ，（N为常数）。 证明： 运用数学归纳法证明 （*）， 事实上，当n=1时，由条件（Ⅰ）及A是反向混合单调算子可知： ， 则（*）式成立， 假设n=k时式（*）成立，即有，从而有： ，， 则n=k+1时，由A的反向混合单调性知： 则（*）式成立。 再由条件（Ⅱ）和A的反向混合单调性知： ， 令，对任给的，由 ， 可知存在，使得。 根据P的正规性递推得：。 又 ， ， 从而 ， ， 所以{}和{}是E中的Cauchy序列。 由E的完备性知，存在，使且， 再由与锥P的正规性，易知：。 由，令得：， 又由条件（Ⅲ）知： ， 再由 ， 同时令，得，即是方程在上的不动点。 下证的唯一性。 设也是方程在D中的不动点，则仿照上述方法由归纳法可得： ，令得，故是在D中的唯一不动点。 最后在和中， 令便得到误差估计式。 证毕 参考文献： 【1】郭大钧 非线性泛函分析[M]。济南：山东科学技术出版社，1985 【2】孙经先 非线性泛函分析及其应