索伯列夫(Sobolev)空间嵌入定理与集中紧性原理(稿).docVIP

索伯列夫（Sobolev）空间嵌入定理与集中紧性原理 摘 要 本文主要研究索伯列夫空间嵌入定理及其证明，和集中紧性原理，加深对泛函知识的理解。 关键词 弱导数、Sobolev空间、嵌入定理、集中紧性原理 Abstact Key words 目 录 摘要…………………………………………………………………………………..I Abstract……………………………………………………………………………..II 引言………………….……………………………….……………………………....1 一、预备知识………………………………………………………………………..2 1.1 弱导数定义…………………………………………………...…………………2 1.2 Sobolev空间……………………………………….…………………2 1.3 引理…………………………………………..……………….…………………2 二、嵌入定理的证明与集中紧性原理………………………………………………5 2.1 嵌入定理的证明………………………...………………………………………5 2.2 集中紧性原理………………………………………….………………………10 2.3 结论…………………………………………………………………………….12 参考文献……………………………………………………………………………..13 引 言 索伯列夫空间理论是上世纪30年代初由苏联数学家S.L.Sobolev发展起来的。这些空间是由弱可微函数所组成的Banach空间，它们是为研究偏微分方程的近代理论以及研究与数学分析有关的领域中许多问题的需要而产生的 。 苏联数学家索伯列夫( S.L. Sobolev) 从 1938年开始，在研究弹性体中的波动等问题时，建立了一系列新的概念，例如广义解、广义导数、嵌入定理等． 他以泛函分析为工具发展了一套新型的可微函数空间理论(现在国际上称为Sobolev空间)，同时他也为偏微分方程的近代研究奠定了理论基础，Sobolev这些开创性的工作在他的名著“ 泛函分析及其在数学物理中的应用” (1950)中作了系统的总结． 从那时以来， 这种理论已有很广泛的发展．1957～1959年， 意大利E. Gagliado 提出了一套与Sobolev不同的证法．1956～1958 年苏联Slobodeokii等人推广了Sobolev的工作， 引进了“分数次求导”等概念， 形成了分数次空间， 称Slobodeokii空间 Sobolev空间的嵌入定理在函数空间理论、偏微分方程、偏微分方程数值解等学科中有重要应用。一般区域上Sobolev空间的嵌入定理的证明已经给出，但证明一般过于复杂，限制了它在通常学科中的使用。 本文研究Sobolev空间的嵌入定理的证明和集中紧性原理的证明。 一、预备知识 1.1 弱导数的定义 设，对于给定的重指标，如果且对于所有的，有 并记，则称是的阶弱导数. 1.2 Sobolev空间 设对，是非负整数， 对本身及其直到阶弱导数在内都是可和的函数集合： （1） 在空间内引入范数 （2） 1.3 引理 引理1 设是具强局部Lipshitz性质的区域，简称型区域，则： 存在开集，，…, ,使． 存在开集，使． 设，，则存在一个充分小的，当，，且时，有一个使，． 对任意，存在顶点在原点的多面体，使得时，。 存在，，及常数，使得当，且时，有，使 存在一个顶点在原点的多面体，当时，。此外存在，当，且时，。 存在向量，当时，，对任意。 引理2（Gagliardo定理） 设是中的有界锥形区域，对任意的,存在开集，，…，，满足： （1）； （2）对每一个，存在一个顶点在原点的平行多面体，使，其中且其中直径小于等于。 引理3 设，是有界区域，是列紧的充要条件为： （1）是中的有界集，即存在，使对任意，； （2）是中等度连续，即对任意，存在，当时 （对任意） 其中是的延拓函数，定义为 引理4 设是中的有界开集，为正整数，使，，，，则 引理 5 设是中边长为2的立方体，其边分别平行于坐标轴，而是由经平移得到的型区域，又，，，则 其中是与无关的常数。 引理 6 设是中边长为1的立方体, 表示边长为的立方体，其表面积分别平行于的表面，如果，而，则 （对任意，） 其中是与无关的常数。 引理7 设是中具有锥性质的有界区域，简称有界锥形区域，，若，则，其中是与无关的常数。 引理8 设，其中，。则