级下非电期中试卷答案.docVIP

2002级（非电类）高等数学（下）期中试卷 单项选择题（） 在以下级数或反常积分后的括号内填入适当的字母，各字母的含义是： （A）绝对收敛；（B）条件收敛；（C）发散；（D）可能收敛，可能发散。 1．（ C ）； 2．设条件收敛，则 （ D ）； 3．（ A ）； 4．设，则（ C ）。 二、单项选择题（） 1．设：及：， ：，则（ C ） （A）∥； （B）； （C）∥； （D）。 2．曲线，绕的曲面方程为（ A ） （A）；（B）；（C）；（D）。 3．设，，，则（ D ） （A）； （B）； （C）； （D）。 4．两非零向量，则（ B ） （A）； （B）； （C）；（D）。 三、填空题（） 1．的泰勒级数及收敛域为 2．级数的和为 3．级数的和函数及收敛域为 4．曲面的名称为椭圆抛物面，它与曲面的交线在 四、计算题（） 1．求点到直线：。 解法1：直线的方向向量，，， ，，。 解法2：过点， 即，把：，。 ∴平面与直线L的交点为，，。 2．求级数的和函数及收敛域。 解：， ， ∴的和函数为，收敛域为除负整数外的一切实数。 3．求级数的收敛域。 解：，∵，∴。 或，而， 故，∴。 当时，∵，∴级数在发散，故收敛域为。 五、计算题（） 已知直线，且与两直线：及： 都相交，求L的方程。 解法1：，，， ， ∴由点与所确定的平面为：，即。 ，代入平面，得， ，，∴。 解法2：，，，， 由点与所确定的平面为：，即。 故交线。 解法3：设，则， ∵， ， ∴， ∴，即。 2．将函数展开成正弦级数，并写出该级数的和函数的表达式。 解：先将作奇式延拓，再作周期延拓，则， 。。 3．常数，级数是（1）发散；（2）条件收敛； （3）绝对收敛。 分析：设，。，∵，∴发散。 ，，但不能确定是否收敛。为此用比较判别法：，显然，当时，收敛，从而绝对收敛。综上可知，要分，，三种情况进行讨论。 解：设，， （1），∵，∴，发散。 （2），取，则有 ，而收敛， ∴收敛，故绝对收敛。 （3）， ∵，而发散，∴发散。 设，，当，， ∴，从而，且， 故由莱布尼兹判别法知条件收敛。 综上讨论可知，当时发散；条件收敛；绝对收敛。 六．证明题 设在区间，且， 证明级数。 证明：∵，∴，，有， ； ； ； ∴。从而，有， ∵，∴，从而， 由比较判别法知收敛，故。 1