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第五讲 几何——立体部分 教学目标： 对于小学几何而言，立体图形的表面积和体积计算，既可以很好地考查学生的空间想象能力，又可以具体考查学生在公式应用中处理相关数据的能力，所以，很多重要考试都很重视对立体图形的考查． 知识点拨： 长方体和正方体 如右图，长方体共有六个面(每个面都是长方形)，八个顶点，十二条棱． ①在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等． (叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形．) ②长方体的表面积和体积的计算公式是： 长方体的表面积：； 长方体的体积：． ③正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形． 如果它的棱长为，那么：，． 二、圆柱与圆锥 立体图形 表面积 体积 圆柱 圆锥 注：是母线，即从顶点到底面圆上的线段长 例题精讲： 如右图，在一个棱长为10的立方体上截取一个长为8，宽为3，高为2的小长方体，那么新的几何体的表面积是多少？ 我们从三个方向(前后、左右、上下)考虑，新几何体的表面积仍为原立方体的表面积 右图是一个边长为4厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心l厘米的正方体，做成一种玩具．它的表面积是多少平方厘米? 原正方体的表面积是44696(平方厘米)．每一个面被挖去一个边长是1厘米的正方形，同时又增加了5个边长是1厘米的正方体作为玩具的表面积的组成部分．总的来看，每一个面都增加了4个边长是1厘米的正方形． 从而，它的表面积是：9646120平方厘米． 【巩固】在一个棱长为50厘米的正方体木块，在它的八个角上各挖去一个棱长为5厘米的小正方体，问剩下的立体图形的表面积是多少？ 对于和长方体相关的立体图形表面积，一般从上下、左右、前后3个方向考虑．变化前后的表面积不变：5050615000(平方厘米)． 下图是一个棱长为2厘米的正方体，在正方体上表面的正中，向下挖一个棱长为1厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中向下挖一个棱长为厘米的正方形小洞，第三个正方形小洞的挖法和前两个相同为厘米，那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？ 我们仍然从3个方向考虑．平行于上下表面的各面面积之和：2228(平方厘米)；左右方向、前后方向：22416(平方厘米)，1144(平方厘米)，41(平方厘米)，4(平方厘米)，这个立体图形的表面积为：41(平方厘米). 一个正方体木块，棱长是1米，沿着水平方向将它锯成2片，每片又锯成3长条，每条又锯成4小块，共得到大大小小的长方体24块，那么这24块长方体的表面积之和是多少？ 锯一次增加两个面，锯的总次数转化为增加的面数的公式为：锯的总次数2增加的面数． 原正方体表面积：1166(平方米)，一共锯了(21)(31)(41)6次， 6112618(平方米)． 【巩固】(2008年走美六年级初赛)一个表面积为的长方体如图切成27个小长方体，这27个小长方体表面积的和是 ． 每一刀增加两个切面，增加的表面积等于与切面平行的两个表面积，所以每个方向切两刀后，表面积增加到原来的3倍，即表面积的和为． 如图，25块边长为1的正方体积木拼成一个几何体，表面积最小是多少？ 当小积木互相重合的面最多时表面积最小. 设想27块边长为1的正方形积木，当拼成一个的正方体时，表面积最小，现在要去掉2块小积木，只有在两个角上各去掉一块小积木，或在同一个角去掉两块相邻的积木时，表面积不会增加，该几何体表面积为54. 要把12件同样的长a、宽b、高h的长方体物品拼装成一件大的长方体，使打包后表面积最小，该如何打包？ ⑴当 b2h时，如何打包？ ⑵当 b2h时，如何打包？ ⑶当 b2h时，如何打包？ 图2和图3正面的面积相同，侧面面积正面周长长方体长，所以正面的周长愈大表面积越大，图2的正面周长是8h6b，图3的周长是12h4b.两者的周长之差为2（b2h）. 当b2h时，图2和图3周长相等，可随意打包；当b2h时，按图2打包；当b2h时，按图3打包. 【巩固】要把6件同样的长17、宽7、高3的长方体物品拼装成一件大的长方体，表面积最小是多少？ 考虑所有的包装方法，因为6123，所以一共有两种拼接方式： 第一种按长宽高116拼接，重叠面有三种选择，共3种包装方法. 第二种按长宽高123拼接，有3个长方体并列方向的重叠面有三种选择，有2个长方体并列方向的重叠面剩下2种选择，一共有6种包装方法. 其中表面积最小的包装方法如图所示，表面积为1034. 如图，在一个棱长为5