级数与广义积分.docVIP

第五章 级数与广义积分 §5.1 收敛性的讨论 一、基本概念与收敛的必要条件 1.级数与广义积分收敛性定义 （1）设是数列,则称为级数.称为级数的前项部分和.若数列收敛,则称此级数收敛,并称极限值为级数的和. (2)设是定义在上的函数,其中.若对任意,在上可积,且极限存在,则称积分收敛,或在上广义可积,且记.当且在点附近无界时,称为瑕点.当为或瑕点时,称为广义积分.类似可定义为时广义积分的收敛性. 设是定义在上的函数,其中,定义,其中.若与都收敛时,称积分收敛,易证上述定义与的选择无关. 2.级数收敛的必要条件 若级数收敛,则.但是由广义积分收敛,不能推出. 例1 存在上广义可积的正值连续函数,使得. 解 定义函数如下:当时,;当时, ;当时,.其中取遍任意自然数函数.的图像如图所示再令,则在上连续恒正,且是收敛的,但是. 例2设在上一致连续且收敛,证明. 证明 由于在上一致连续,,,当且时, 有.由于收敛,存在,当时, . 由于. 所以.即.这证明了. 例3设在上单调递减非负且收敛,证明. 证明 由于收敛,, 存在,当时, .又在上单调递减非负,从而.故有.因此当时,,所以. 例4设在上可微, 可积,且当时, 单调递减趋于零.又收敛,试证收敛. 证明 首先非负.否则,若存在使得,则时恒有,从而发散,而这与已知条件矛盾. 其次由,且收敛可知,收敛与否取决于是否存在. 由例3证明过程可知. 例5设在上有连续可微函数,积分和都收敛.证明. 证明 要证,有极限,由归结原则,只要证恒有收敛.事实上,由收敛,由Cauchy收敛准则, , 存在,当时, 恒有.于是,存在,当时,有,从而.所以收敛.由归结原则存在.下证.若,由局部保号性,存在,当时有.从而时这与收敛矛盾.同理可证也不可能,故. 二、收敛的充分条件 1.比较原则 设与都是正项级数,且存在,当时, . (1)若收敛,则收敛;(2)若发散,则发散. 推论 设与都是正项级数,且存在,当时, . (1)若收敛,则收敛;(2)若发散,则发散. 对广义积分有类似的比较原则. 例6设是单调递增的正数列,证明 当有界时,收敛;(2) 当无界时,发散. 证明 (1)由条件知存在,设.因为 , , 由比较原则级数收敛. 当无界时,有.由于 , 对固定的,取充分大的使得,则有.由Cauchy收敛准则,级数发散. 练习 设在上连续,对任意有.另外. 试证若,则收敛. 证明 因故, 存在,当时有,即,所以(当时).因,故取,于是,所以收敛.由比较判别法收敛. 2.比式判别法 设是正项级数,若极限存在，则 (1)当时级数收敛;(2) 当时级数发散. 练习1试证如下级数收敛 (1); (2). 提示 (1)令，(其中),易证. (归结原则). 练习2设在的某邻域内有二阶连续导数，且．证明级数绝对收敛． 证明1 由得,,.又.由归结原则, ,故, 而级数收敛,由比较判别法知绝对收敛． 证明2 由得,,.在某邻域内的二阶泰勒展式为 , 由连续知，，有，从而有 故绝对收敛． 例7（比式判别法的推广）设是正项级数,则 (1) 当时,级数收敛;(2) 当时,级数发散. 证明 (1) 设,存在使得.由上极限的性质,存在,当时.故有, , ……………………… , 由于等比级数收敛,由比较原则, 收敛,所以级数收敛. （2）设,存在使得.由下极限的性质,存在,当时, .因此,所以原级数是发散的. 3.根式判别法 设是正项级数,若极限存在，则 (1)当时级数收敛;(2) 当时级数发散. （根式判别法的推广）设是正项级数,则 (1) 当时,级数收敛;(2) 当时,级数发散. 证明可仿照例7进行. 4.Raabe判别法(极限形式) 设是正项级数且极限存在. (1)若,则级数收敛;(2) 若,则级数发散. 证明 取使得.存在,当时, ,由此得 .取满足.由于, 故当充分大时,,即. 所以.因此由收敛与比较原则的推论可知收敛. 当充分大时,有,. 由调和级数发散与比较原则的推论可知发散. 例8讨论级数的敛散性. 解 设,由于 , (此处利用已知极限),由Raabe判别法,当时级数收敛;当时级数发散;当时由Raabe判别法的证明过程知级数发散. 推论 . 例9讨论级数的敛散性.其中. 解 设.由于, 由Raabe判别法,当时级数收敛;当时级数发散;当时级数为,因此级数是发散的. 例10 设数列单调递减非负,证明级数收敛当且仅当级数收敛. 证明 设,. 当时, . 因此若级数收敛,则数列有界,从而数列有界,这推出级数收敛.当时, . 故由级数收敛可推出级数收敛. 例11 设,证明数列与级数同为收敛或发散. 证明 令,则. 所以收敛收敛收敛.由于当时有,所以与同为收