级数分(中)试题A卷参考答案.docVIP

安徽大学2011—2012学年第二学期 《数学分析（中）》（A卷）考试试题参考答案及评分标准 一、填空题（每小题4分，共16分） 1．， ； 2．； 3． ； 4． . 二、计算题（每小题6分，共24分） 1．解：原式= ……………………………………………………………………………………………………3分 . ……………………………………………………………………………………………………6分 2．解：原式= ……………………………………………………………………………………………………3分 . ……………………………………………………………………………………………………6分 3．解：原式= ……………………………………………………………………………………………………3分 . ……………………………………………………………………………………………………6分 4．解：由于对任意， ， ……………………………………………………………………………………………………4分 从而. ……………………………………………………………………………………………………6分 三、应用题（本大题共15分） 解：（1）解得， ……………………………………………………………………………………………………5分 由对称性得 ； ……………………………………………………………………………………………………11分 （2）由（1）知 . ……………………………………………………………………………………………………15分 四、讨论题（本题共20分） 1．判断下列级数的敛散性（包括绝对收敛与条件收敛）（每小题5分，共10分） （1）解：该级数为正项级数，且 ， 由Cauchy判别法知该级数收敛。 ……………………………………………………………………………………………………5分 （2）由于当时，单调递减趋于， 故原级数为Leibniz级数，从而收敛。 ……………………………………………………………………………………………………3分 另一方面，由于~（），从而发散。 因此原级数条件收敛。 ……………………………………………………………………………………………………5分 2．判断下列反常积分的敛散性（每小题5分，共10分） （1）解：注意到~（）， ……………………………………………………………………………………………………3分 由比较判别法的极限形式得 当时原广义积分收敛，当时原广义积分发散。 ……………………………………………………………………………………………………5分 （2）解：由于当时，单调递减趋于，而积分有界， ……………………………………………………………………………………………………3分 由Dirichlet判别法知，原广义积分收敛。 ……………………………………………………………………………………………………5分 五、分析题（第1小题10分，后三小题每题5分，共25分） 1．解：注意到， 故收敛半径为， 又由于当时，原级数发散， 从而原幂级数的收敛域为。 ……………………………………………………………………………………………………4分 为方便起见记， 则对任意， . ……………………………………………………………………………………………………10分 2．解：由可得 ， ……………………………………………………………………………………………………3分 故当时，，即原函数列在上一致收敛。 ……………………………………………………………………………………………………5分 3．解：设，由于对任意， ， 而级数收敛，由Weierstrass判别法知，在上一致收敛于。 ……………………………………………………………………………………………………3分 因此，在上连续。再由逐项求导定理知，在上成立，此即在上有连续的导数。 ……………………………………………………………………………………………………5分 4．证明：由于在上连续且单调减少，故对任意， . （1） 而 , 故在上单调减少，因此对任意，， 此即对任意，有 . （2） ……………………………………………………………………………………………………3分 另一方面，由于，，故在上单调增加， 因此，. 又由（1） ， 则，. 因此， . （3） 联立（2）（3）得，，. 证毕。 ……………………………………………………………………………………………………5分 第 4 页 共