级数学分析期末复习(大字).docVIP

2009级数学分析（1）期末复习 各章内容基本要求 实数集与函数 熟练掌握绝对值的三角不等式；理解实数的完备性、有理数的稠密性。 熟练掌握有界集、无界集的概念；掌握上、下确界的概念及其等价刻画，明白上、下确界与最大、最小值的联系与区别；理解确界原理。 掌握邻域、空心邻域的概念。 掌握函数的概念及其表示方法；明白函数与其反函数的关系；理解函数是一种对应关系，函数未必都能画出图像；熟悉一些特殊函数取整函数、Dirichlet函数、符号函数及其表示。 掌握基本初等函数与初等函数的概念。 掌握函数的有界性、奇偶性、单调性、周期性，理解周期的概念。 分别求 的上、下确界，并证明之。 求集合的上、下确界，并证明之。 对任一实数集S，证明 sup S = sup {S ( {sup S}}。 证明，任何函数 f 都可以写成一个奇函数与一个偶函数之和。 数列极限 掌握数列极限的 (-N定义及其几何意义，明白极限是一种趋势，它与数列的任何有限多项无关（其任一子列都收敛且有同一极限）其中 ，懂得适时变形，并能熟练运用之。 用(-N语言证明 。 证明，若，则存在N 0, 使得对 任意 n N 有 。 证明，若 inf S ( S, 则存在数列 xn ( S，使得 xn 单调递减； 。 证明，若数列 { xn } 从某项开始恒满足 | xn - xn-1 | 1/n2, 则数列 { xn }收敛【cauchy准则】。 求。【两边夹定理】 若,.证明:数列收敛，并求其极限。【单调有界收敛定理】 函数极限 掌握函数极限的 (-(定义、(- M定义及其几何刻画，明白极限是一种趋势，它与函数在指定点的函数值无关。 掌握函数左、右极限的定义及其与函数极限的关系，会用它判别分段函数在分段点处的极限存在性。 掌握函数极限的唯一性、局部有界性、局部保号性。 掌握函数极限存在的两边夹定理，Cauchy收敛准则以及归结原则，掌握单调有界函数的左右极限存在性准则。 掌握无穷大量、无穷小量的概念、性质及其阶（同阶、高阶、等价），理解无穷小量与有界量乘积还是无穷小量；明白无穷大量与无界量的联系与区别；掌握等价无穷大量、无穷小量代换定理。 掌握两个重要极限及其变形，熟记当x → 0时如下几个常用等价无穷小量：sin x~ x, ex – 1 ~ x, ln(1+ x ) ~ x, 1– cos x ~ x2/2, tan x ~ x, arcsin x ~ x, arctan x ~ x. 掌握极限四则运算性质、复合函数极限法则。 会用极限四则运算性质、复合函数极限法则、两个重要极限以及等价无穷小量代换定理计算各种极限，尤其是不定式极限（）。 理解渐近线的概念及其含义，会求三种不同的渐近线。 用(-(语言证明 。 已知 求。 求 求 求 求 求下列曲线的渐近线： （1）; (2) 函数的连续性 掌握连续函数的概念及其四则运算、复合运算性质；理解初等函数的连续性；理解左、右连续与函数连续的关系，会用它判别分段函数在分段点处的连续性。 掌握间断点的概念及其分类，会判断一些特殊函数或分段函数的间断点类别。 掌握连续函数的局部有界性、局部保号性。 掌握函数在区间上一致连续的概念，会证明函数的一致连续性和非一致连续性。 理解有界闭区间上连续函数的有界性、最值性、介值性和一致连续性。 分别求函数 与Dirichlet函数D(x)的间断点及其类别. 求函数 求a，b 为( - 2(, 2()上的连续函数。 证明函数当( 1 时在 [ 0, +( ) 上不一致连续；当0 ( ( 1 时在 [ 0, +( ) 上一致连续。 设函数f , g 都在区间I（有界或无界区间）一致连续且有界，则函数fg 在区间I一致连续。 设函数f , g 都在有界闭区间 [a, b] 连续，并且满足 ，则对任意点，必存在至少一点使得 设函数f在有界闭区间 [a, b] 连续，并且满足 ，则必存在至少一点使得 设f在某有界闭区间有定义，且在有理点上取值为无理数，在无理点上取值为有理数，证f不是连续函数 导数和微分 掌握导数与微分的概念，理解其实质及意义、联系与区别；清楚函数在一点处的可导性、连续性、极限存在性及有界性的关系；掌握左、右导数的概念及其与函数可导性的关系，并会用左、右导数判别分段函数在分段点处的可导性及导数计算。 掌握函数导数的四则运算、复合运算、反函数的求导法则；熟记六种基本初等函数的导数；记住一些常见初等函数的导数公式；理解一阶微分形式的不变性。 掌握含参量函数的一阶、二阶导数求法。 掌握函数极值点、稳定点的定义及其关系；熟悉导函数的介值定理（Darboux定理）。 理解高阶导数与高阶微分的概念；掌握函数乘积的高阶导