级数学角平分线的性质及其逆定理同步练习.docVIP

24.8 角平分线的性质及其逆定理 1. 如图，△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，在以下结论中：①△ADE≌△ADF；②△BDE≌△CDF；③△ABD≌△ACD；④AE=AF；⑤BE=CF；⑥BD=CD．其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 答案：B． 2. 如图，Rt△ABC中，∠C=90o，BD是角平分线，DE⊥AB，垂足为E，BC=6，CD=3，AE=4，则DE=_______，AD=_______，△ABC的周长是_______． 答案：3，5，24 3. 用三角尺画角平分线：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM=ON，再分别过M、N作OA，OB的垂线，交点为P，画射线OP，则这条射线即为角平分线．请解释这种做法的道理．你还能举出哪些作角平分线的方法，并说明这种做法的道理． 答案：提示：OM=ON，OP=OP，∴Rt△OMP≌Rt△ONP(HL)，∴∠MOP=∠NOP，∴射线OP是∠AOB的平分线． 4. 如图，三条公路围成的一个三角形区域，要在这个区域中建一个加油站，使它到三条公路的距离都相等，加油站应建在什么位置？请用尺规作图，找出建造加油站的位置． 答案：提示：作两个角的平分线，交点即为建加油站的位置． 5. 如图，△ABC中，∠C=90o，BD平分∠ABC交AC于D，DE是AB的垂直平分线，DE=BD，且DE=1.5cm，则AC等于（　　） A．3cm B．7.5cm C．6cm D．4.5cm 答案：D． 6. 如图，△ABC中，P是角平分线AD，BE的交点． 求证：点P在∠C的平分线上． 答案：如图，过点P作PM⊥AB，PN⊥BC，PQ⊥AC，垂足分别为M、N、Q．∵P在∠BAC的平分线AD上，∴PM=PQ．P在∠ABC的平分线BE上，∴PM=PN。∴PQ=PN，∴点P在∠C的平分线． 7. 如图，已知点D是∠ABC的平分线上一点，点P在BD上，PA⊥AB，PC⊥BC，垂足分别为A，C． 求证：（1）AD=CD；（2）∠ADB=∠CDB． 答案：△ABP≌△CBP，∴AB=CB，又∠ABP=∠CBP，BD=BD，∴△ABD≌△CBD，∴AD=CD，∠ADB=∠CDB． 8. 如图，在∠AOB的两边OA，OB上分别取OM=ON，OD=OE，DN和EM相交于点C． 求证：点C在∠AOB的平分线上． 答案：提示：作CE⊥OA于E，CF⊥OB于F，OM=ON，OE=OD，∠MOE=∠NOD，∴△MOE≌△NOD(SAS)，∴S△M O E =S△N O D，同时去掉S四边形ODCE，得S△M D C=S△N E C，易证，MD=NE，∴CE=CF，∴点C在∠AOB的平分线上． 10. 如图，已知△ABC中，∠C=90o，∠BAC=2∠B，D是BC上一点，DE⊥AB于E，DE=DC． 求证：AD=BD． 答案：提示：DE=DC，AD=AD，∴Rt△ADE≌Rt△ADC，∴∠EAD=∠DAC=∠BAC，又∠B=∠BAC，∴∠EAD=∠B，∴AD=BD． 24.7 线段垂直平分线的性质定理及其逆定理 1. 如图，△ABC中，∠CAB=120o，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，则∠EAF等于（　　）A．40o B．50o C．60o D．80o 答案：C． 2. 已知线段AB和它外一点P，若PA=PB，则点P在AB的____________________；若点P在AB的____________________，则PA=PB． 答案：垂直平分线上；垂直平分线上． 3. 已知：△ABC中，边AB，AC的垂直平分线相交于点P． 求证：点P在BC的垂直平分线上． 答案：连结PA，PB，PC，PB=PA=PC，所以，点P在BC的垂直平分线上． 4. 将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC，BD为折痕，则∠CBD的度数为（　　） A．60° B．75° C．90° D．95° 答案：C． 5. 如图，在△ABC中，EF是AC的垂直平分线，AF=12，BF=3，则BC=__________． 答案：15． 6. 如图，四边形ABCD中，AB=AD，BC=CD，AC，BD相交于E，由这些条件你能推出哪些结论（不再添加辅助线，不再标注字母，不写推理过程，只要求写出四个你认为正确的结论）？ 答案：AC平分对角；AC⊥BD；AC平分BD；△ABC≌△ACD等． 7. 如图，△ABC中，AB=AC，点P、Q、R分别在AB，BC，AC上，且PB=QC，QB=RC． 求证：点Q在PR的垂直平分线上． 答案：提示：AB=AC，∴∠B=∠C，又PB=QC，QB=RC，∴△B