D9_1二重积分综述.ppt

第十章 一元函数积分学 多元函数积分学 重积分 曲线积分 曲面积分 重 积 分 三、二重积分的性质 第一节 一、引例 二、二重积分的定义与可积性 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二重积分的概念与性质 第九章 解法: 类似定积分解决问题的思想: 一、引例 1.曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体: 底： xoy 面上的闭区域 D 顶: 连续曲面 侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面 求其体积. “大化小, 常代变, 近似和, 求 极限” 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1)“大化小” 用任意曲线网分D为 n 个区域 以它们为底把曲顶柱体分为 n 个 2)“常代变” 在每个 3)“近似和” 则 中任取一点 小曲顶柱体 机动 目录 上页 下页 返回 结束 4)“取极限” 令 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、二重积分的定义及可积性 定义: 将区域 D 任意分成 n 个小区域 任取一点 若存在一个常数 I , 使 可积 , 在D上的二重积分. 积分和 积分域 被积函数 积分表达式 面积元素 记作 是定义在有界区域 D上的有界函数 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 如果 在D上可积, 也常 二重积分记作 这时 分区域D , 因此面积元素 可用平行坐标轴的直线来划 记作 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二重积分存在定理: 若函数 定理2. (证明略) 定理1. 在D上可积. 限个点或有限个光滑曲线外都连续 , 积. 在有界闭区域 D上连续, 则 若有界函数 在有界闭区域 D 上除去有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、二重积分的性质 ( k 为常数) ? 为D 的面积, 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则 5. 若在D上 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1. 比较下列积分的大小: 其中 解: 积分域 D 的边界为圆周 它与 x 轴交于点 (1,0) , 而域 D 位 从而 于直线的上方, 故在 D 上 机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结 1. 二重积分的定义 2. 二重积分的性质 (与定积分性质相似) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 被积函数相同, 且非负, 思考与练习 解: 由它们的积分域范围可知 1. 比较下列积分值的大小关系: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 设D 是第二象限的一个有界闭域 , 且 0 y 1, 则 的大小顺序为 ( ) 提示: 因 0 y 1, 故 故在D上有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 * *