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第三节 (2) 令 因此 收敛, 绝对收敛. 例16. 判别下列级数的敛散性，如果收敛，说明是条件收敛还是绝对收敛 : 解: 故级数条件收敛. 因此原级数绝对收敛 . Leibnitz 判别法，即 解: 因此原级数非绝对收敛 . 满足Leibnitz 判别法， 所以原级数条件收敛. 解: 所以原级数发散. 分析：这是交错级数，但不满足 ，无 法用Leibniz判别法. 故加括号后级数发散， 所以原级数发散. 解: 加括号 二、幂级数及其收敛性 幂级数 第十二章 常数项级数 数 数 常数项级数 函数 函数 设 为定义在区间 I 上的函数 为定义在区间 I 上的 函数项级数. , 称 对 若 收敛, 为其收 敛点, 所有收敛点的全体称为其收敛域 ; 若常数项级数 发散 , 为其发散点, 所有 发散点的全体称为其发散域 . 一、 函数项级数及其收敛域 1、定义 (1) 特点： 1、幂级数(1)的每一项都是非负整数幂的幂函数 2、幂级数(1)完全由系数构成的数列{ }来决定 标准幂级数 二、幂级数及其收敛性 发 散 发 散 收 敛 收敛 发散 若幂级数 则对满足不等式 的一切 x 幂级数都绝对收敛. 反之, 若当 的一切 x , 该幂级数也发散 . 时该幂级数发散 , 则对满足不等式 定理 1. ( Abel定理 ) 收敛区域 发散区域 发散区域 推论 收敛区域 发散区域 发散区域 定义: 正数R称为幂级数的收敛半径. 称为幂级数的收敛区间. 规定 问题 如何求幂级数的收敛半径? 收敛域为 关于原点的对称区间 定理2 对端点 x =－1, 的收敛半径及收敛域. 解: 对端点 x = 1, 收敛; 级数为 发散 . 故收敛域为 例1.求幂级数 级数为 交错级数 例2. 求下列幂级数的收敛域 : 解: (1) 所以收敛域为 (2) 所以级数仅在 x = 0 处收敛 . 规定: 0 ! = 1 作业 P268 1 (1), (3); 2 (2) ; 5 (1), (3) P277 1 (1), (5) * 无穷级数 无穷级数 常数项级数 幂级数 第十二章 * 定义： 给定一个数列 将各项依 即 称上式为无穷级数， 其中第 n 项 叫做级数的一般项, 级数的前 n 项和 称为级数的部分和. 次相加, 简记为 收敛 , 则称无穷级数 并称 S 为级数的和,（也称级数收敛于S ） 则称无穷级数发散 . 记作 例１ 例如, 调和级数 虽然 但此级数发散 . 例3. 讨论 p 级数 (常数 p 0) 的敛散性. 性质1. 若级数 收敛于 S , 则各项 乘以常数 c 所得级数 也收敛 , 说明: 级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 . 即 其和为 c S . 二、无穷级数的基本性质 性质2. 设有两个收敛级数 则级数 也收敛, 其和为 说明：若两级数中一个收敛一个发散 , 则 必发散 . 但若二级数都发散 , 不一定发散. 例如, (用反证法可证) 性质3. 在级数前面加上或去掉或改变有限项, 不会 影响级数的敛散性. 数敛散性相同. 当级数收敛时, 其和的关系为 类似可证前面加上或改变有限项的情况 . 极限状况相同, 故新旧两级 注：一个级数是否收敛，取决于按照一定规律无休止地给出的那些项是怎样的，而不是取决于前面的有限多项是什么.如级数 性质4. 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数 的和. 推论: 若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散. 设收敛级数 则必有 注：级数的一般项不趋于0 , 是判定级数发散的 一种常用方法 . 三、级数收敛的必要条件 注意: 并非级数收敛的充分条件. 二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛 第二节 一、正项级数及其审敛法 常数项级数的审敛法 第十二章 若 则称 为正项级数 . 的收敛（发散）问题归结为数列 的收敛（发散）问题。 次都直接用定义去判断级数收敛与否，除在少数场合外，往往是很困难的。因此，需要简单易行的判敛法。 如果数项级数各项的符号都相同，则称它为同号级数. 级数 对于同号级数，只需研究正项级数. 如果每 但在具体应用中， 一、正项级数及其审敛法 定理2 (比较审敛法) 设 且存在 对一切 有 (1) 若级数 则级数 (2) 若级数 则级数 则有 收敛 , 也收敛 ; 发散 , 也发散 . 是两个正项级数, 注：怎样使用比较审敛法？ 当需要判别一个正项级数 如果能