线性方程组的间接解法.docVIP

第七节 迭代法及其收敛性 ? 一、迭代法的一般格式 在前面我们已经介绍了解线性方程组 （1） 的一些直接方法，下面我们将简略介绍一下解方程组(1)的另一类方法——迭代法，所谓迭代法是这样一种方法，对任意给定初始近似,按某种规则逐次生成序列 使极限 (2) 为方程组(1)的解，即 设把矩阵A分解成矩阵N和P之差 其中N为非奇异矩阵,于是,方程组(1)便可以表示成 即 (3) 其中,据此,我们便可以建立迭代公式 (4) 我们称迭代公式(4)中的矩阵B为迭代矩阵. 若序列收敛 显然有 即，极限便是所求方程组的解. 定义1（1）对给定的方程组(3)，用公式(4)逐步代入求近似解 的方法称为迭代法. (2) 如果存在 (记为)，则称迭代法收敛，此时就是方程组的解,否则称此迭代法发散. 为了讨论迭代公式(4)的收敛性,我们引进误差向量. (5) 由(3)和(4)便得到误差向量所满足的方程 (6) 递推下去,最后便得到 (7) ? 二 迭代法的收敛性 若欲由(4)所确定的迭代法对任意给定的初始向量都收敛,则由(7)确定的误差向量应对任何初始误差都收敛于0. 定义2若 (8) 则称矩阵序列依范数‖·‖收敛于. 由范数的等价性可以推出，在某种范数意义下矩阵序列收敛，则在任何一种范数意义下该矩阵序列都收敛.因此,对矩阵序列收敛到矩阵，记为 (9) 而不强调是在那种范数意义下收敛. 从定义及矩阵的行(列)范数可以直接推出下面定理. 定理1 设矩阵序列及矩阵，则收敛于的充分必要条件为 , 因此，矩阵序列的收 敛可归结为元素序列的收敛.此外,还可以推出下面定理. 定理2 迭代法(4)对任何都收敛的充分必要条件为 (10) 定理3 矩阵序列收敛于0的充分必要条件为 (11) 证明 如果,则在任一范数‖·‖意义下有 而由第六节定理4有 所以必有 反之，若则存在足够小的正数，使,则第六节定理5可知,存在范数使，.于是 因为 所以 即 定理 4 迭代法(4)对任意都收敛的充分必要条件为 ? 三 迭代法的收敛速度 考察误差向量 设B有n个线性无关的特征向量,相应的特征值为,由 得 可以看出，当愈小时，愈快，即愈快，故可用量来刻划迭代法的收敛快慢. 现在来确定迭代次数k，使 (12) 取对数得 定义3 称 (13) 为迭代法(4)的收敛速度. 由此看出,愈小,速度R(B)就愈大，(12)式成立所需的迭代次数也就愈少. 由于谱半径的计算比较困难,因此,可用范数‖B‖来作为的一种估计. 定理5 如果迭代矩阵的某一种范数，则对任意初始向量，迭代公式(4)收敛,且有误差估计式 (14) 或 (15) 证明 利用定理4和不等式,可以立即证得收敛的充分条件,下面推导误差估计式. 因为方程组的精确解，则 又,则由第六节定理7可知,I-B可逆，且 由于 两边取范数即得 又由于 所以，即 有了定理5的误差估计式,在实际计算时,对于预先给定的精度，若有 则就认为是方程组满足精度的近似解.此外，还可以用第二个估计式(15)来事先确定需要迭代的次数以保证 第八节 雅可比迭代法与高斯—塞德尔迭代法 ? 一 雅可比迭代法 设线性方程组 (1) 的系数矩阵A可逆且主对角元素均不为零,令 并将A分解成 (2) 从而(1)可写成 令 其中. (3) 以为迭代矩阵的迭代法(公式) (4) 称为雅可比(Jacobi)迭代法(公式),用向量的分量来表示,(4)为 (5) 其中为初始向量. 由此看出,雅可比迭代法公式简单