线性方程组迭代法习题课.docVIP

线性方程组求解 习题课 一、给定方程组 试考察用Jacobi迭代法和Seidel迭代法求解的收敛性。 解：对Jacobi迭代法，迭代矩阵为 因为，得特征值 得 ，由定理知Jacobi迭代法发散。 对Seidel迭代法，迭代矩阵为 = 显然，其特征值为 故，由定理知Seidel迭代法收敛。 二、设线性方程组，，。证明：解线性方程组的Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法同时收敛或不收敛。 证明： ，故，得 。 ，，得 。注意到 由定理Jacobi和Seidel迭代法同时收敛或不收敛。 三、对于，若用迭代公式 ，k=0，1，2，… 取什么实数范围内的可使迭代收敛？ 解：迭代公式可写成 迭代矩阵为。易求出A的特征值为1和4，故有B的特征值为和。所以 要收敛，由定理有 。 所以是迭代收敛。 取什么值可使收敛最快？ 四、设A是n阶非奇异阵，B为n阶奇异阵，试证： 其中，是矩阵的算子范数。 证明： 因为Cond(A)= ，所以本题不等式的证明可转化为证明 存在显然。注意到 为引入向量证明矩阵范数，考虑矩阵B对应的齐次方程组Bx=0。因为B是奇异阵，存在非零向量y满足By=0，用左乘得，有 两边取范数有 因为，得而 所以有 证毕。 五、 设，A非奇异，对线性方程组 有块Jacobi迭代法 试给出其矩阵迭代格式和块Seidel迭代格式。 解：Jacobi迭代公式可写成 故有块Jacobi迭代矩阵格式为 块Seidel 六、用列主元与全主元方法解方程组 解：1、列主元法进行计算过程： 回代得到解： 2、使用全主元法过程： 回代得到解： 七、设是对称正定矩阵，经过高斯消元法一步后，约化为，其中，证明： （1）A的对角元素（i=1,2,…，n）； （2）是对称正定矩阵 证明：（1）因A对称正定，故 其中为第个单位向量 （2）由A的对称性及消元公式得 故也对称 又，其中 显然非奇异，从而对任意的，有 由A的正定性，有正定。 又，而0，故正定。 八、给定线性方程组 其中且系数矩阵是非奇异的。试根据其系数矩阵稀疏性的特点给出一个求解算法。并指出所给算法的乘除法和加减法的运算次数。 分析：根据方程组的特点先用消元法将其化为两对角方程组，然后再用回代法求解。 解：记 第一次消元： 记将第一行乘加到第行，并记 第二次消元： 记 将第二行乘加到第行，并记 类似做法直到第次消元： 记将第行乘加到第行，并记 经过以上次消元得同解得两对角方程组为 用回代可以求解。 最后算法为： （1） （2）对依次计算 （3） （4） （II）乘除法（5n-4） 加减法3(n-1）