3.3随机变量的相互独立性教学.ppt

3.3随机变量的独立性 * * 随机变量的独立性是概率论中的一个重要概念 两事件A,B独立的定义是： 若P(AB)=P(A)P(B) 则称事件A,B独立 . 设 X,Y是两个随机变量，若对任意的x,y, 有 则称X,Y相互独立 . 两随机变量独立的定义是： 设二维随机变量(X,Y)的分布函数 为F(x, y), X和Y的边缘分布函数分别为 FX(x), FY(y),若?x,y ,有 F(x,y)=FX(x)FY(y) 则称随机变量X和Y相互独立 定义: 其意义: 事件{X≤x}与{Y≤y}相互独立 用分布函数表示,即 它表明，两个随机变量相互独立时，它们的 联合分布函数等于两个边缘分布函数的乘积 . 离散型: X与Y相互独立 即pij=pi. ? p.j (i,j=1,2,…) 连续型: X与Y相互独立 若(X,Y)服从二维正态分布,则X与Y 相互独立??=0 ?f(x,y)=fX(x)fY(y) ?P{X=xi,Y=yj}=P{X=xi}?P{Y=yj} 例1 设二维随机变量(X,Y)的分布律为: 1 2 1 2 3 Y X 若X与Y相互独立,求? , ?之值 解: ?=P{X=2,Y=2} =P{X=2}P{Y=2} ?=P{X=2,Y=3} =P{X=2}P{Y=3} 又由 解得: 例2 设X与Y是两个相互独立的随机变量, X在(0,0.2)上服从均匀分布,Y的概率密度 为: 求 P{Y≤X} 解:由题意可知 P{Y≤X} =0.3697 f(x,y)=fX(x)fY(y) o x y 0.2 D 证明: 例3 设:(X ,Y )～N 求证: X与Y独立? ?=0 由 “?” 把?=0代入 于是: ∴ X与Y独立 “?” ∵X和Y相互独立 ∴ ?(x,y)? R2.有 f(x,y)= fX(x)fY(y) 对比两边 ∴ ?=0 特别,取 代入上式有 即: 例4 设(X,Y)的概率密度为 问X和Y是否独立？ 解： x0 即： 对一切x, y, 均有： 故X,Y 独立 y 0 若(X,Y)的概率密度为 情况又怎样？ 解： 0x1 0y1 由于存在面积不为0的区域， 故X和Y不独立 . 例5 甲乙两人约定中午12时30分在某地会面.如果甲来到的时间在12:15到12:45之间是均匀分布. 乙独立地到达,而且到达时间在12:00到13:00之间是均匀分布. 试求先到的人等待另一人到达的时间不超过5分钟的概率. 又甲先到的概率是多少？ 解: 设X为甲到达时刻,Y为乙到达时刻 以12时为起点,以分为单位,依题意, X~U(15,45), Y~U(0,60) 所求为P( |X-Y | 5) 及P(XY) 解: 设X为甲到达时刻， Y为乙到达时刻 以12时为起点，以分为单位，依题意， X~U(15,45), Y~U(0,60) 甲先到 的概率 由独立性 先到的人等待另一人 到达的时间不超过5分钟 的概率 解一： P(| X-Y| 5) =P( -5 X -Y 5) =1/6 =1/2 P(XY) 解二： P(X Y) =1/6 =1/2 被积函数为常数， 直接求面积 =P(X Y) P(| X-Y| 5) 类似的问题如： 甲、乙两船同日欲靠同一码头，设两船各自独立地到达，并且每艘船在一昼夜间到达是等可能的 . 若甲船需停泊1小时，乙船需停泊2小时，而该码头只能停泊一艘船，试求其中一艘船要等待码头空出的概率.