常微分课件1.1总结.ppt

常微分方程课程的基本内容： 教材：王高雄等编，常微分方程（第三版），高教出版社，2006 * * 常微分方程模型 -----常微分方程的应用 主要内容 第一章 绪论 基本概念和常微分方程的发展历史 在初等数学中，我们曾经学习过代数方程，三角方程，指数方程和对数方程等等。 在高等代数中，我们又学习了高次代数方程，n元线性代数方程组。 这些方程(组)有一个共同点，就是作为未知而需要求出来的是一个或几个特定的值(称为方程的根或解)。这样的方程我们把它们称为初等方程（包含代数方程和超越方程）。 第一节 常微分方程模型 一、微分方程概念的引进 例如数学分析中的隐函数问题，就是在一定条件下，由方程 (*) 来确定隐函数，上述方程(*)是众所周知的隐函数方程，它是函数方程中最简单的一种。而隐函数就是所要求的未知函数。 而在高等数学中，常常需要研究的是另外一类性质上完全不同的方程。在这类方程中, 作为未知而需要求出来的已经不是一个或几个特定的值，而是一个函数。我们称这类方程为高等方程也称它为函数方程。 在数学分析中，不定积分问题，实际上是微分的逆运算问题，也可以用方程的概念叙述如下： 设f(x)是自变量x的连续函数，试求函数y=y(x)满足下列方程： 方程(*)和方程(**)共同之处在于未知的都是函数，不同之处在于方程(*)中只有未知函数本身，而方程(**)中却出现了未知函数的导数 方程中出现未知函数的导数，这种情况不仅在研究数学时会遇到，而且在研究物理学、力学、化学、生物学、工程技术、甚至若干社会科学时也会遇到。 因为在研究这些实际问题时，往往不能直接找到所研究的那些量之间的依赖关系，但是却能根据实际问题中蕴含的某些规律，建立起它们和它们的变化率(导数)之间的关系式。 数学分析中所研究的函数, 是反映客观现实世界运动过程中量与量之间的一种关系。 但是在大量实际问题中，对于稍为复杂一些的运动过程, 反映运动规律的量与量之间的关系(即函数)往往不能直接写出来, 却比较容易建立这些变量和它们的导数(或微分)之间的关系式。 于是，我们把包含未知函数的导数（或微分）的方程叫做微分方程。 二、实际问题的常微分方程模型 问题一：将某物体放置于空气中，在时刻 时，测量得它的温度为 ，10分钟后测量得温度 为 问题与要求：决定此物体的温度 和时间 的关系 基本假设：空气的温度保持为 . 分析：了解有关物体温度变化的基本规律：热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导；在一定的温度范围内(其中包括了上述问题的温度在内)，一个物体的温度变化速度与这一物体和其所在介质温度的差值成比例，这就是牛顿（Newton）冷却定律。 假设：设物体在时刻t 的温度为 ，则温度的变化速度为 。注意到热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导的。因而 ，所以温差 恒正；又因物体将随时间而逐渐冷却，故温度变化速度 恒为负。 因此由牛顿冷却定律得 其中k是比例常数，方程(1.1)就是物体冷却过程的数学模型，它含有未知函数u及它的(一阶)导数 ，这样的方程，就称为(一阶)微分方程。 将(1.1)改写成 变量u和t被分离出来了, 对上式两边积分得 由此，令 ，有 代入初始条件，并整理得到 解曲线 其中 是积分常数，对上式进行变形又得到： 图解 评注：符合实际情况，真实地反映了物理现象：高温物体在低温环境中的温度变化过程和情况。 问题二：R-L电路电流方程: M Q O A P mg 问题三：R-L-C电路电流方程: 问题四：数学摆（下图）的运动方程(下面三个方程)。 前面我们介绍了微分方程的一些物理背景，其实在自然科学和技术科学的其它领域，例如化学、生物学、自动控制、电子技术、分支、混沌、非线性振动等学科中，都提出了大量的微分方程问题。同样在社会科学的一些领域里也存在着微分方程的问题。 因此，微分方程是一门与实际联系比较密切的数学课程，应该注意它的实际背景与应用；而作为一门数学基础课程，又应该把重点放在应用数学方法研究微分方程本身的问题上。 第一章 绪论 第二章 一阶微分方程的初等解法 第三章 一阶微分方程的解的存在定理 第四章 高阶微分方程