经管类概率论与数理统计随机变量及其变量分布.docVIP

第一章 随机变量及其变量分布 　　§2.1　离散型随机变量　　（一）随机变量　　引例一：掷骰子。可能结果为Ω={1,2,3,4,5,6}.　　我们可以引入变量X,使X=1，表示点数为1；x=2表示点数为2；…，X=6，表示点数为6。　　引例二，掷硬币，可能结果为Ω={正，反}.　　我们可以引入变量X，使X=0，表示正面，X=1表示反面。　　引例三，在灯泡使用寿命的试验中，我们引入变量X，使aXb，表示灯泡使用寿命在a（小时）与b（小时）之间。　　例如，1000≤X≤2000　表示灯泡寿命在1000小时与2000小时之间。 0X4000表示灯泡寿命在4000小时以内的事件。 　　 定义1：若变量X取某些值表示随机事件。就说变量X是随机变量。习惯用英文大写字母X,Y,Z表示随机变量。 　　例如，引例一、二、三中的X都是随机变量。　　（二）离散型随机变量及其分布律 　　定义2　若随机变量X只取有限多个值或可列的无限多个（分散的）值，就说X是离散型随机变量。例如，本节中的引例一、引例二的X是离散型随机变量。 　　定义3　若随机变量X可能取值为且有（k=1,2,…,n,…）或有　　 　　其中，第一行表示X的取值，第二行表示X取相应值的概率。　　就说公式（k=1,2,…,n,…）　　或表格　　　　是离散型随机变量x的（概率）分布律，记作 　　分布律有下列性质　　（1）；（2）　　由于事件互不相容。而且是X全部可能取值。　　所以　　　　 　　反之，若一数列具有以上两条性质，则它必可以作为某随机变量的分布律。　　例1　设离散型随机变量X的分布律为　　　　求常数c。　　【答疑编号对该题提问】　　解　由分布律的性质知　　1=0.2+c+0.5,　　解得c=0.3.　　例2　掷一枚质地均匀的骰子，记X为出现的点数，求X的分布律。　　【答疑编号对该题提问】　　解　X的全部可能取值为1,2,3,4,5,6,且　　　　则X的分布律为　　　　在求离散型随机变量的分布律时，首先要找出其所有可能的取值，然后再求出每个值相应的概率。　　例3　袋子中有5个同样大小的球，编号为1，2.，3，4，5。从中同时取出3个球，记X为取出的球的最大编号，求X的分布率。　　【答疑编号对该题提问】　　解　X的取值为3,4,5，由古典概型的概率计算方法，得　　（三个球的编号为1,2,3）　　（有一球编号为4，从1，2，3中任取2个的组合与数字4搭配成3个）　　（有一球编号为5，另两个球的编号小于5）　　则X的分布律为　　　　例4　已知一批零件共10个，其中有3个不合格，今任取一个使用，若取到不合格零件，则丢弃掉，再重新抽取一个，如此下去，试求取到合格零件之前取出的不合格零件个数X的分布率。　　【答疑编号对该题提问】　　解　X的取值为0，1，2，3，设表示“第i次取出的零件是不合格的”，利用概率乘法公式可计算，得　　　　　　　　　　故X的分布率为　　　　在实际应用中，有时还要求“X满足某一条件”这样的事件的概率，比如等，求法就是把满足条件的所对应的概率相加可得，如在例2中，求掷得奇数点的概率，即为　　P{X=1,或3,或5} =P{X=1}+ P{X=3}+ P{X=5}=　　在例4中，　　P{X≤1}= P{X=0}+ P{X=1}=，　　P{X1}= P{X=2}+ P{X=3}=，　　P{1≤X2.5}= P{X=1}+ P{X=2}=，　　例5　若X的分布律为　　 　　求（1）P(X2),　　【答疑编号对该题提问】　　（2）P(X≤2),　　【答疑编号对该题提问】　　（3）P(X≥3),　　【答疑编号对该题提问】　　（4）P(X4)　　【答疑编号对该题提问】　　解（1）P(X2)=P(X=0)+P(X=1)=0.1+.02=0.3　　(2) P(X≤2)= P(X=0)+P(X=1) +P(X=2)=0.1+0.2+0.2=0.5　　(3) P(X≥3)= P(X=3)+P(X=4) =0.3+0.2=0.5　　(4)∵{x4}=Φ　　∴P{x4}=0　　（三）0-1分布与二项分布　　下面，介绍三种重要的常用离散型随机变量，它们是0-1分布、二项分布与泊松分布。 　　 定义4　若随机变量X只取两个可能值：0,1,且P{X=1}=p, P{X=0}=q其中0p1,q=1-p,则称X服从0-1分布。X的分布律为在n重贝努利试验中，每次试验只观察A是否发生，定义随机变