经管类概率论与数理统计随机变量的数字特征.docVIP

　　随机变量的概率分布完整地描述了随机变量统计规律，但是在实际问题中求得随机变量的概率分布并不容易，而且对某些问题来说，只需知道它的某些特征，我们把刻画随机变量某些方面特征的数值称为随机变量的数字特征。本章主要研究随机变量的期望、方差、协方差、相关系数等数字特征。　　4.1 随机变量的期望　　4.1.1 离散型随机变量的期望　　引例 10人参加考试，1人得100分，6人得80分，3人得60分，求10人考度的平均分。　　【答疑编号对该题提问】　　解：平均分为：　　　　从本例看：平均分并不等于60、80、100的平均值80。这是由于60分出现的机会多于100分，上面方法出现了60分出现的频率多。100分的频率小，能正确计算平均值。 　　 定义　若X的分布律为 P（X=xi）=pi，i=1，2… 　　 　　 当级数绝对收敛时（即收敛） 　　 就说是离散型随机变量X的期望。记作EX，即 　　　　说明：（1）若X取值为有限个x1，x2，…，xn　　则　　　（2）若X取值为可列无限多个x1，x2，…，xn…　　则　　　这时才要求无穷级数绝对收敛。　　很明显，X的期望EX体现随机变量X取值的平均概念，所以EX也叫X的均值。　　【例4-1】设随机变量X的分布律为　　　　求E（X）　　解 E（X）=（-1）×0.3+0×0.2+1×0.5=0.2　　【例4-2】甲乙两人进行打靶，所得分数分别记为X，Y，它们的分布律分别为　　　　　　试比较他们成绩的好坏。　　【答疑编号对该题提问】　　解 我们分别计算X和Y的数学期望：　　 EX=0×0+1×0.2+2×0.8=1.8（分）。　　 EY=0×0.1+1×0.8+2×0.1=1（分）。　　这意味着，如果进行多次射击，甲所得分数的平均值接近于1.8分，而乙得分的平均值接近1分。很明显乙的成绩远不如甲。　　4.1.2 下面介绍几种重要离散型随机变量的数学期望。　　1.两点分布　　随机变量X的分布律为　　　　其中0＜p＜1，有 　 EX=0×（1-p）+1×p=p。 　　2.二项分布　　设X～B（n,p），即　　 　 可以证明它的期望EX=np 　　二项分布的数学期望np，有着明显的概率意义。比如掷硬币试验，设出现正面概率若进行100次试验，则可以“期望”出现次正面，这正是期望这一名称的来由。　　3.泊松分布　　设其分布律为　　 　　 则X数学期望为EX= 　　小结上面的结果，有下面公式 分布 EX X～（0,1）X～B（n,p）X～P（λ） pnp 　　今后在上面三种情形下，期望EX不必用定义计算，可以直接套用公式。　　例如 若 X～B（10，0.8），则EX=10×0.8=8　　 若 X～P（3），则EX=3。　　4.1.3　下面介绍离散型随机变量函数的数学期望。 　　 定理4-1 设离散型随机变量X的分布律为 　　 P{X=xk}=pk，k=1，2，…。 　　 令Y=g（X），若级数绝对收敛，则随机变量Y的数学期望为 　　 　　 特别情形 　　 　　 　　 　　【例4-5】设随机变量X的分布律为　　　　令Y=2X+1，求E（Y）。　　【答疑编号对该题提问】　　解　　EY=（2×（-1）+1）×0.3+（2×0+1）×0.2+（2×1+1）×0.4+（2×2+1）×0.1　　 =（-1）×0.3+1×0.2+3×0.4+5×0.1=1.6。　　【例4-6】设随机变量X的分布律为　　　　且Y=X2，求EY。　　【答疑编号对该题提问】　　解　　　 　　　 =（-1）2×0.3+02×0.2+0.52×0.1+12×0.1+22×0.3　　　　　　=0.3+0.025+0.1+1.2=1.625。　　　　4.1.4 连续型随机变量的期望　　对于连续型随机变量的期望，形式上可类似于离散型随机变量的期望给予定义，只需将和式中的xi改变x,pi改变为f（x）dx（其中f（x）为连续型随机变量的概率密度函数）以及和号“Σ”演变为积分号“∫”即可。 　　 定义4-2 设连续型随机变量X的概率密度为f（x），若广义积分绝对 收敛，则称该积分为随机变量X的数学期望（简称期望或均值），记为EX，即 　　　　【例4-7】设随机变量X的概率密度为 　　　　求E（X）。　　【答疑编号对该题提问】　　解　　　　　　　 　　【例4-8】设随机变量X的概率密度函数为 　　　　求E（X）。　　【答疑编号对该题提问】　　解 因为f（x）只在有限区间上不为零，且在该区间上为连