维随机变量及其概率分布要点.docVIP

第三章《 二维随机变量及其概率分布》要点 一、二维随机变量（X,Y） (二维随机变量（X,Y）对离散型和连续型随机变量都适用) 1、联合分布函数的定义：，一个带有变量的，特定事件的概率，因此它具有事件概率的属性。 2、有如下性质： （1） 1 （2）=0；=0；=0；=1 3、分量X,Y的各自的分布称为边缘分布函数 分量X的边缘分布函数 即让y取一切值的分布函数 分量Y的边缘分布函数 即让x取一切值的分布函数 二、二维离散型随机变量(X,Y)联合分布律和边缘布分布律 1、联合分布率：以如下具体例子加以说明： Y X 0 1 2 1 0.2 0.1 0.1 2 0.2 0.3 0.1 它就是一个二维离散型随机变量(X,Y)联合分布律，它反映了： X可以取值1，2； Y可以取值0，1，2 给出了(X,Y)各种取值组合的概率，如P(X=1,Y=2)=0.1；P{X=2,Y=1}=0.3 分布率性质： ； （ ） 2、边缘布分布律（还是以上例说明） Y X 0 1 2 1 0.2 0.1 0.1 0.2+0.1+0.1=0.4 2 0.2 0.3 0.1 0.2+0.3+0.1=0.6 0.2+0.2=0.4 0.1+0.3=0.4 0.1+0.1=0.2 1 表格最右边是X的边缘分布率: 它表示P{X=1}=0.4,P{X=2}=0.6 表格最下边是Y的边缘分布率它表示P{Y=0}=0.4,P{Y=1}=0.4,P{Y=2}=0.2 三、二维连续型随机变量(X,Y)联合密度函数 1、性质: （1）0 （2）=1 （具体积分上下限要看具体题目） 2、（1）X边缘密度函数= （2） Y边缘密度函数= 3、连续型随机变量(X,Y)的分布函数和密度函数的关系：= 是对二维函数求偏导数的符号。具体方法是对函数F(x,y)将x看作变量,y看作常数求一次导数，再对求出的结果将y看作变量,x看作常数求一次导数。 如对F(x,y)=，求： 将x看作变量，y看作常数求一次导数：（=，再对求出的结果将y看作变量，x看作常数求一次导数（=所以= 四、二维随机变量X,Y独立性（即变量之间互不影响） 1、X,Y互相独立 F()= 2、X,Y互相独立 = 3、X,Y互相独立 对一切i,j 五、常用的连续型两维随机变量概率分布 1、均匀分布 这里（X,Y）），它的面积S=(b-a)(c-d) ， 其它 矩形区域内 (X,Y)服从二维均匀分布，则其X和Y的边缘分布也服从均匀分布 0 其它 0 其它 2、正态分布 若(X,Y)服从二维正态分布 （1）则边缘分布X,Y也分别服从正态分布： X~，Y~ （2）相关系数 X,Y互相独立 五、二维随机变量函数的分布 如Z=X+Y,Z=XY等函数，考试一般以离散型随机变量题型居多 例：（X,Y） 1 1/18 1/9 1/6 2 2/9 1/3 1/9 则Z=X+Y的分布率为： Z=X+Y 1 2 3 4 P 1/18 1/9+2/9=1/3 1/6+1/3=1/2 1/9 Z=XY的分布率为： Z=XY 0 1 2 4 P 1/18+2/9=5/18 1/9 1/6+1/3=1/2 1/9 做好后可以用概率和是否等于1检验一下。