考研学生级数部分.docVIP

理工类 说明： (1) 只对数学一要求的在左上角加“①”. (2) 记号[08120]表示--08年数学一第20题. (3) 例题中“Ai、Bi、Ci”分别表示“基本题、综合题、应用题” 无穷级数 (数学一) [考试要求] 1.理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。 2.掌握几何级数与p-级数的收敛与发散的条件。 3.掌握正项级数的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。 4.掌握交错级数的莱布尼兹判别法。 5.了解任意项级数绝对收敛和条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。 6.了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。 7.理解幂级数收敛半径的概念，掌握幂级数收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。 8.了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项积分和逐项微分），会求一些幂级数在其收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。 9.了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。 10.掌握ex, sinx, cosx, ln(1+x), (1+x)m的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。 11.了解傅里叶级数的概念和狄利克雷收敛定理，会将定义在,上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在上的函数展开为正弦级数，余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。（只对数一要求） ---------------------------------------------------------------------------------------- [内容分为三大部分] Ⅰ 数项级数； Ⅱ 幂级数； Ⅲ 傅立叶级数。 [考题常出类型] A. 基本题 B. 综合题 [本章特点] 概念性强，分析、推理多，运算量不算大。 [内容提要] 一、数项级数 形如 [主要问题] 一是审敛问题； 二是求和问题。 1. 数项级数敛散定义： 的部分和为 若存在，则称级数收敛, =S； 若不存在，则称发散。 注：收敛存在。 ---------------------------------------------------------------- 2. 级数的性质： 与()敛散性相同； (2) 设两级数和则有下列结论： ①两收和必收； ②一收一散和必散； ③两散和不定(但必发散)。 (3) 收敛级数任意添加括号后仍收敛。 但逆命题不一定成立 (即添加括号后收敛的级数原级数不一定收敛)。 (4) 若级数收敛，则。 ―― 级数收敛的必要条件 作用: ① 可用来判别发散：若≠0, 则 发散； ② 可用来求极限为零的极限: 收敛，则。 (5) 若级数和都收敛，则级数, ，也都收敛。 注：① 增加减少或改变级数的有限项不影响其敛散性。 ② 若收敛，则也收敛。 [例题分析] A1: [00102] 设级数收敛，则必收敛的级数为( )。 (A) ; (B) ; (C) ; (D)。 ----------------------------------------------------------------------- A2: [06109] [06309] 若级数收敛，则级数( )必收敛。 (A) ； (B) ； (C) ； (D) 。 ---------------------------------------------------------------------- A3：[04310] 设有以下命题： 若收敛，则收敛； 若收敛，则收敛； 若＞1, 则发散； ④ 若收敛,则和都收敛。 则以上命题中正确的是( )。 (A)①②; (B)②③; (C)③④; (D)①④。 3. 级数的审敛法 ( ) I. 比值(根值)审敛法： (或)，则级数 注: 若(), 则必发散。此时不必取极限。 -------------------------------------------------------------------------------------- II. 比较审敛法: 和, 且 (当时)，则 若收敛，则也收敛。(大收则小收) 若发散，则也发散。 (小散则大散) --------------------------