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§3 一般项级数 (一) 教学目的： 掌握交错级数的莱布尼茨判别法，一般项级数的狄利克雷判别法与阿贝尔判别法． (二) 教学内容： 交错级数；莱布尼茨判别法； 狄利克雷判别法；阿贝尔判别法；条件收敛；绝对收敛． 基本要求： (1) 理解收敛级数,绝对收敛级数与条件收敛级数的关系,性质及证明方法.掌握交错级数的莱布尼茨判别法． (2) 掌握一般项级数的狄利克雷判别法与阿贝尔判别法，了解绝对收敛级数的性质． (三) 教学建议： (1) 本节的重点是要求学生必须熟练掌握交错级数的莱布尼茨判别法，掌握条件收敛和绝对收敛的定义，了解绝对收敛级数性质的结论．总结判别一般项级数的敛散性的各种方法． (2) 本节的难点是要求学生掌握一般项级数的狄利克雷判别法与阿贝尔判别法，要求较好学生掌握绝对收敛级数的性质． ———————————————————————— 一 交错级数 定理9 （莱布尼兹（Leibniz）判别法）有交错级数 ，若 i） ii） 则级数 收敛，并有 . 证 ( 证明部分和序列 的两个子列和收敛于同一极限 . 为此先证明递增有界. ) , ↗; 又 , 即数列有界. 由单调有界原理, 数列收敛 . 设 . . 由证明数列有界性可见 , . 余和亦交错级数 余和与同号, 且. 例1 判别级数的敛散性. 解 时 , 由Leibniz判别法, 收敛; 时, 通项, 发散. 二. 绝对收敛级数及其性质 : 绝对收敛和条件收敛: 以Leibniz级数为例, 先说明 收敛 绝对收敛. 定理12。2 ( 绝对收敛与收敛的关系 ) 收敛 收敛. 证 ( 用Cauchy 准则 ). 一般项级数判敛时, 先应判其是否绝对收敛. 例2 判断例1中的级数绝对或条件收敛性. 2. 绝对收敛级数可重排性 : 对级数， 则有 i) 和均为正项级数 , 且有和; ii) , . 定理 3 i) 若 ， 则 ， . ii) 若 条件收敛 , 则 , . 证 i) 由和, ⅰ 成立 . ii) 反设不真 , 即和中至少有一个收敛 , 不妨设 .由 = , = 以及 和收敛 , . 而 , , 与 条件收敛矛盾. ⑶ 绝对收敛级数的可重排性: 更序级数的概念. 定理4 设是的一个更序 . 若, 则, 且 =. 证 i） 若，则和是正项级数 , 且它们的部分和可以互相控制.于是 , , , 且和相等 . ii） 对于一般的, = = . 正项级数和分别是正项级数和的更序 . 由, 据定理1, 和收敛. 由上述i)所证 , 有, , 且有 = , = =. 由该定理可见 , 绝对收敛级数满足加法交换律 .是否只有绝对收敛级数才满足加法交换律呢 ? 回答是肯定的 . 定理5 ( Riemann ) 若级数条件收敛, 则对任意实数 ( 甚至是 ), 存在级数的更序, 使得= . 证 以Leibniz级数 为样本 , 对照给出该定理的证明 . 三. 级数乘积简介: 1. 级数乘积 : 级数乘积 , Cauchy积. [1] P25—26. 2．级数乘积的Cauchy定理: 定理 ( Cauchy ) 设, , 并设=, =. 则它们以任何方式排列的乘积级数也绝对收敛, 且乘积级数的和为. ( 证略 ) 例3 几何级数 是绝对收敛的. 将按Cauchy乘积排列, 得到 . 三 阿贝尔判别法和狄里克雷判别法 引理 (阿贝尔变换) 设 是两组数 ,若, 且存在 M0, , 则 . 证明 . 定理3 (狄里克雷判别法) 若函数列 单调递减收敛于0, 且级数的部分和数列 有界, 则级数收敛. 证明： ，利用阿贝尔变换 因 单调递减收敛于0，存在 N ， 时 由柯西准则，级数收敛. 定理4 (阿贝尔判别法) 若函数列 单调有界, 且级数收敛, 则级数收敛. 证明：不妨设单调递减有下界 单调递减收敛于0， 收敛（狄里克雷判别法），从而级数 收敛。 注意两个定理的条件的区别. 取↘0 , , 由Dirichlet判别法, 得交错级数 收敛. 可见Leibniz判别法是Dirichlet判别法的特例. 由Dirichlet判别法可导