第二章导数与微分绪论.doc

第二章 导数与微分 内容概要 名称 主要内容 导数的定义 函数的求导法则 导数的四则运算法则 错误!未找到引用源。. 错误!未找到引用源。. 错误!未找到引用源。. 复合函数的求导法则(链式法则) 隐函数的导数 求隐函数的导数时,只需将确定隐函数的方程两边同时对自变量求导,凡遇到含有因变量的项时,把当作中间变量看待,再按照复合函数求导法则求之,然后从所得等式中解出 对数求导法:对幂指函数,可以先在函数两边取对数,然后在等式两边同时对自变量求导,最后解出所求导数 反函数的导数 反函数的导数等于直接函数导数的倒数,即 ,其中为的反函数 高阶导数 直接法:利用基本求导公式及导数的运算法则,对函数逐次地连续求导 间接法:利用已知的高阶导数公式,通过导数的四则运算,变量代换等方法,间接求出指定的高阶导数 莱布尼茨公式 课后习题全解 习题2-1 ★ 1. 用定义求函数在处的导数. 知识点：函数在某点处导数的定义 思路：按照三个步骤：(1)求增量；（2）算比值；（3）求极限 解： ★ 2. 已知物体的运动规律,求该物体在时的速度. 知识点：导数的定义 思路： 根据导数的定义，按照三个步骤求导 解: 3. 设存在，试利用导数的定义求下列极限： 知识点：导数的定义 思路：利用导数的定义式求极限 ★(1) 解： ★(2) 解： ★★ (3) 解： ★★ 4.设在处连续，且，求. 知识点:导数和连续的定义 思路: 关键求出,再利用导数的定义 解: 在处连续 又 ★ 5.给定抛物线,求过点的切线方程与法线方程. 知识点：导数的几何意义 思路：利用导数的几何意义得切线的斜率 解: 切线的斜率 切线的方程为,即 法线方程为,即 ★ 6.求曲线在点处的切线方程和法线方程. 知识点：导数的几何意义 思路：利用导数的几何意义得切线的斜率 解: 切线的斜率 切线的方程为,即 法线方程为,即 ★ 7.函数在点处是否可导?为什么? 知识点：函数在某点可导的充要条件 思路：利用导数的定义求左右导数，然后利用函数在某点可导的充要条件判别 解： 在处不可导. ★ 8.用导数的定义求在处的导数. 知识点：函数在某点可导的充要条件 思路：利用导数的定义求左右导数，然后利用函数在某点可导的充要条件 解: ★★ 9.设,求. 知识点：分段函数的导数 思路：分段函数在每一段内可以直接求导，但是在分段点处要利用导数的定义求导 解：当时， 当时， 当时， ★★ 10.试讨论函数在处的连续性与可导性. 知识点：函数在某点连续与可导的定义 思路：利用函数在某点连续与可导的定义判断 解: 在处连续. 在处可导. ★★ 11.设在处连续, ,求. 知识点：函数在某点处导数的定义 思路：利用导数的定义求导数 解:在处连续 ★★ 12.设不恒为零的奇函数在处可导,试说明为函数的何种间断点. 知识点：导数以及间断点的定义 思路：利用导数的定义求极限 解:为奇函数 又在处可导 即 在处有极限. 为函数的可去间断点. ★★ 13.当物体的温度高于周围介质的温度时,物体就不断冷却,若物体的温度与时间的函数关系为,应怎样确定该物体在时刻的冷却速度? 知识点: 导数的定义 思路: 导数反映的是函数的变化率,在时刻的冷却速度即为函数对时间的导数 解:时刻该物体的温度为,则时刻物体的温度为, 物体在时刻的冷却速度. ★★★ 14.设函数在其定义域上可导,若是偶函数,证明是奇函数;若是奇函数,则是偶函数(即求导改变奇偶性). 知识点：导数的定义 思路：利用导数的定义求导数 解:若为偶函数时, 为奇函数. 若为奇函数时, 为偶函数. 习题2-2 ★ 1. 计算下列函数的导数： 知识点：基本初等函数的导数和导数的四则运算法则 思路：利用基本初等函数的导数和导数的四则运算法则求导数 (1); 解: (2); 解: (3); 解: (4); 解: (5); 解: (6); 解: (7); 解: (8); 解: (9); 解: (10); 解： (11); 解: (12). 解: ★ 2.计算下列函数在指定点处的导数: 知识点：基本初等函数的导数和导数的四则运算法则 思路：利用基本初等函数的导数和导数的四则运算法则求导数 (1),求; 解: (2),求. 解: ★ 3.求曲线上横坐标为的点处的切线方程与法线方程. 知识点：导数的几何意义，基本初等函数的导数和导数的四则运算法则 思路：利用基本初等函数的导数和导数的四则运算法则求导数得切线的斜率 解: