第七章群论绪论.doc

第七章 群 论 §1 群的基本概念和一般理论 一、群的定义和例子 群是按照某种规律互相联系着的一些元素的集合，我们用G来表示这个集合，并设它含有的元素是A，B，C，E等等。不是随便什么样的元素集合都构成群，要组成数学群必须满足下列四个条件： 封闭性 G中任何两个元素相“乘”（包括一个元素本身“平方”），其结果任然是G中的元素。 如A属于G： B属于G： 则有 () （7.1-1） “乘”这个术语是通用的说法，在这里它含有比初等代数里的“乘”更广泛的意义，也许用“组合”来代替更恰当一些，我们将在下面通过几个例子来阐明。一个数学群必须首先定义一种乘法。 缔合性 三个以上的元素相乘满足乘法的结合律。如 A B C=A ( B C )= (A B ) C (7.1-2) 即在保持三个元素相乘先后次序一定的前提下，其结果与哪两个元素相乘无关。 单位元素 G中有一个元素E，它同每一个元素相乘，都等于该元素本身，即 E A=A E=A, (7.1-3) 称E为单位元素或恒等元素。 逆元素 G中每一个元素A，都有另一个元素A-1，两者相乘等于单位元素E，即 A=A=E, (7.1-4) 称为的逆元素。逆元素可以是该元素本身。 下面我们举几个群的例子 （2） G={所有大于0的实数} 集合G包含所有大于0的实数，对普通的乘法而言，组成一个群。 满足封闭性和缔合性是显然的。1是单位元素，任一实数m的逆元素为。 (3) G={0,±1, ±2, ±3……±n…} 集合G包含0和所有正负整数，对于加法而言，组成一个群，成为整数加群。此例中“乘”的意思是加。 1+2=3 封闭性满足 1+2+3=1+(2+3)=(1+2)+3=6 缔合性满足 0+3=3+0=3 0是单位元素 n+(-n)=0 n有逆元素-n 213 （4） G={E、I} ( Ci ) 这个群（称为Ci）里面的二个元素是“对称操作”，E是不动，I为对原点的倒反。这种群（组成元素是一些对称操作）称为对称群或点群。 把E和I作用到任意函数上，结果为： 如果对先用E作用，再用I作用：,因为是任意函数，故，I E=I0（可见，在这里“乘”的意思就是指连续作用）。同理，E I=I;I I=E;E E=E。可以把以上结果归纳为乘积表（或称乘法表）： E I E E I I I E 可见封闭性满足。 I E I=( I E ) I=I I=E I E I=I ( E I )=I I=E 可见缔合性满足。 单位元素是E，E的逆元素是E，I的逆元素是I。 （5） H2O分子（） 我们选z轴通过氧原子并平分氢原子之间的连线。于是整个水分子再yz平面上，有一个对称面，为xz平面，与此相联系，存在一个镜面反映动作，亦用表示。 另一个对称面，为yz平面，与此相联系的操作是。 有一个对称轴c，就是z轴，即分子绕z轴转动180°复原，此对称操作亦用C2表示。 还有一个对称操作是E：不动。 因此，这个点群包含四个对称操作： G={E,c2，， }称为。 其乘积表为： 214 群元素为对称操作的群称为对称群（Symmetry group），亦称为点群（Point group），因为所有对称操作进行时至少有一个点保持不动，或从对称元素来定义：因为所有对称元素只收在一个点相交。 215 G={1, -1, I, -i} 对普通乘法而言，构成一个群。 封闭性：1 × (-1) = -1 (-1) × (-1) = 1 i × i = -1 i × (-i) = -1 缔合性：1 × i × (-1) = [i × i ] × (-1) =i × (-1) = -i 1 × i × (-1) = 1 × [ i × (-1) ] = 1 × (-i) = -i 等