7.5多元复合函数的求导法则和微分法则解释.ppt

D 二阶导数 √ 解 令 记 同理有 w u v x y w 1 2 x y 或 注意 x y z 1 2 1 2 x y z w 1 2 x y 二、多元复合函数的微分法则 得（偏）导数者得（全）微分 作业：P323 16（3，4，5，7，8，9） 返回 一、多元复合函数的求导链式法则 二、多元复合函数的微分法则 7.5 多元复合函数的求导法则和微分法则 导言：首先要求对一元（复合）函数求导法则烂熟于胸 其次，要求对本节所介绍的多元函数求导法则理解透彻。简言之，要熟悉多元的游戏规则。 一、多元复合函数的求导链式法则 一元复合函数求导法则 y u x 1.全导数 A.典型结构 定理1（全导数） 设函数 u = ?(x) 与v = ?(x) 在x 处均可导, 二元函数 z = f (u , v)在 x 对应点(u , v)处有一阶连续偏导数，则对于复合函数 z u v x 求导公式 函数结构（路线图） 最终的自变量只有一个时求全导 例1设 求全导数 解1 由复合函数求导法则，得 类似题型：P322 16（4）；P285 例2（1） 解2 用7.3的方法直接求偏导数 z u v x 推广：设z= f (u,v,w), 这些结构均为典型结构 其复合函数为 最终的自变量只有一个时求全导 解： B.特殊结构:双重身份，身兼数职 彻底 求导 不彻底 求导 将复合函数 挖地三尺，对所有的t（包括在线的和隐身的）求导 将函数z=f (u, v, t)中的u, v看成不变，而对明摆着的t求偏导 z u v t t Sol. z u v t t 特殊结构:双重身份 身兼数职 类似题型： P285 例2（2） ； P323 16（7） 2.偏导数 A.典型结构 定理2（偏导数） 设 在点(x, y)处有偏导数, 而 z = f (u, v)在对应点(u, v)有连续偏导数, 对于复合函数 有： 求导公式 函数结构（路线图） z u v x y 例 求 解1由复合函数求导法则 解2 用7.3的方法直接求偏导数 z u v x y 类似题： P322 16（1,2,3） P284 例1（2） 推广(1) 设z= f (u,v,w), 其复合函数为 z u v w x y x y z u v w 求和的项数等于路径条数(加法原理） 复合函数求导法则特征说明 每一项的因子数等于每条路线上的步骤数（乘法原理） z u v w x y 推广(2) 设w = f (u, v) , 其复合函数为 u v w x y z u v w x y z z u v w x y z u v x y 这些结构均为典型结构 u z x y 求全导还是求偏导不用死记硬背 类似题： P322 16（5） P284 例1（1） z x v x y B 特殊结构：双重身份，身兼数职 注意1: 这里的 与 是代表不同的意义. 设z=f (x, v) , 复合函数为 彻底求导 不彻底求导 将复合函数 中的y看成不变对x求偏导 将函数z=f (x, v)中的v 看成不变对x求偏导 z x v x y 注意1: 这里的 与 是代表不同的意义. 彻底求导 不彻底求导 上式中的 与 代表 的意义. 以上几种符号，神马（什么）都是一样的 不至于引起混淆时，不必区分 z x v x y 相同 见教材P271倒数第2行 Solution. y u x z x y C.抽象函数的导数及其导数简便符号的引入 （如教材P285例4） 例 设 解 对于函数的乘积，先用乘积的求导法则 设 分别表示函数 f 对第一、二个变量求导 （此题为教材P285例3和例4的综合） 例 练习：P324 16(8,9)