初等函数的求导法则总结.ppt

* 初等函数的求导法则 求导数的方法称为微分法。用定义只能求出一些较简单的函数的导数（常函数、幂函数、正、余弦函数、指数函数、对数函数），对于比较复杂的函数则往往很困难。本节我们就来建立求导数的基本公式和基本法则，借助于这些公式和法则就能比较方便地求出常见的函数——初等函数的导数，从而是初等函数的求导问题系统化，简单化。 一、和、差、积、商的求导法则 定理 法则（1）和（2）可以推广到有限个可导函数的情况。例如 值得注意的是，在法则（3）中，若u (x) = 1，可得 二、例题分析 例1 已知， 求 解 例2 已知， 求 解 例3 解 例4 解 同理可得 例5 解 同理可得 三、复合函数的求导法则 设函数 在点x处可导，函数y = f (u)在对应点 处也可导，则复合函数 在 点x处可导，且 上式也可写成 或 。 复合函数求导法则可以推广到含有多个中间变量函数的情况。 例如，设 ， , 都可导，则有 或 这一法则称为复合函数的链导法。 注 1.链式法则——“由外向里，逐层求导” 2.注意中间变量 例6 设 ，求 。 解 设 则 。 因为 所以 例7 求函数 的导数。 解 设 ， 因为 所以 例8 求函数 的导数 解 设 ， ， 在比较熟练地掌握了对复合函数的分解以后，就不必写出中间变量，只需直接由外向里，逐层求导即可。 注 1.基本初等函数的导数公式和上述求导法则 是初等函数求导运算的基础，必须熟练掌握 2.复合函数求导的链式法则是一元函数微分 学的理论基础和精神支柱，要深刻理解 ，熟 练应用——注意不要漏层 3.对于分段函数求导问题：在定义域的各个部 分区间内部，仍按初等函数的求导法则处理， 在分界点处须用导数的定义仔细分析，即分别 求出在各分界点处的左、右导数，然后确定导 数是否存在。 三、高阶导数 如果函数y = f (x)的导数 仍是x的可导函数，则称 的导数为f (x)的二阶导数。 记作 ， ， 或 相应地，把y =f (x)的导数 称为函数的一阶导数。 类似地，函数y = f (x)的二阶导数 的导数叫做函数y = f (x)的三阶导数，……一般地，函数y = f (x)的n－1阶导数的导数叫做函数y = f (x)的n阶导数，分别记作 二阶导数在力学中的意义： 若变速直线运动的质点运动方程为S = S (t)，由第一节可知 ；而速度对时间的变化率为加速度，即 ， 所以有 求函数的高阶导数并不需引进新的公式和法则，只需用一阶导数的公式和法则，逐阶求导即可。 *