10.3二重积分的应用解释.ppt

10.3 二重积分的应用 1. 能用重积分解决的实际问题的特点: 10.3 二重积分的应用 例 在均匀的半径为R的圆形薄片的直径上,要接上 10.3 二重积分的应用 * * 目录 上页 下页 返回 结束 Content Layouts 一、曲面的面积 二、物体的质心 三、物体的转动惯量 所求量是 对区域具有可加性 —— 用微元分析法 (元素法)建立积分式 分布在有界闭域上的整体量 3. 解题要点: 画出积分域、选择坐标系、确定积分序、 定出积分限、计算要简便 2. 用重积分解决问题的方法: 10.3 二重积分的应用 一、曲面的面积 设光滑曲面 则面积A 可看成曲面上各点 处小切平面的面积 dS 无限积累而成. 设它在 D 上的投影为d? , (称为面积元素) 则 10.3 二重积分的应用 故有曲面面积公式 若光滑曲面方程为 则有 即 10.3 二重积分的应用 若光滑曲面方程为 若光滑曲面方程为隐式 则 则有 且 10.3 二重积分的应用 例1 求底圆半径相等的两个直交圆柱面 解 由对称性得所求表面积为 及 所围立体的表面面积 10.3 二重积分的应用 例2 计算双曲抛物面 被柱面 解 曲面在 xOy 面上投影为 则 所截出的面积 S . 10.3 二重积分的应用 二、物体的质心 设平面有n个质点, 由力学知, 该质点系的质心 分别位于 为 采用“大化小,常代变,近似和,取极限” 若物体为占有xOy 面上区域 D 的平面薄片, 其面密度 每个质点的质量 坐标为 10.3 二重积分的应用 ( A 为D 的面积) 得D 的形心坐标: — 对 x 轴的 静矩 — 对 y 轴的 静矩 公式 , 即: 可导出其质心 10.3 二重积分的应用 例3 求位于两圆 和 之间均匀薄片的质心. 解 利用对称性可知 故质心坐标为 10.3 二重积分的应用 如果物体是平面薄片, 面密度为 则转动惯量的表达式是二重积分. 三、转动惯量 因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和, 故 连续体的转动惯量可用积分计算. 10.3 二重积分的应用 例4 求半径为 a 的均匀半圆薄片对其直径 解 建立坐标系如图, 半圆薄片的质量 的转动惯量. 10.3 二重积分的应用 1. 几何方面 面积 ( 平面域或曲面域 ) , 体积 , 形心 质量, 转动惯量, 质心, 2. 物理方面 内容小结 一个一边与直径等长的同样材料的均匀矩形薄片, 使整个 的另一边长度应为多少? 矩形薄片 薄片的重心恰好落在圆心上, 问接上去的均匀 思考与练习 10.3 二重积分的应用 提示: 建立坐标系如图. 由已知可知 由此解得 即有 * Content Layouts * *