“弹性力学”第12章节薄板弯曲.pptVIP

1 挠度的表达式： 若a=b，则 可见，在级数中仅取两项，就可以达到较高的精度。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 第六节 圆形薄板的轴对称弯曲 求解圆板弯曲问题时，采用极坐标较方便。如果圆形薄板所受的横向载荷是绕z 轴对称的（z 轴垂直板面向下），则该弹性薄板的位移也将是绕z 轴对称的，即 只是r 的函数，不随 而变。 一、弹性曲面微分方程 参照直角坐标下的弹性曲面微分方程。极坐标下，圆形薄板轴对称弯曲时，曲面微分方程可写成： 或 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 二、内力 展开后得： 该微分方程的通解为 其中 是任意一个特解。 从薄板内取出一个微分单元体，图示。在 r 为常量的横截面上，弯矩和横向剪力分别为Mr 和 ；在 为常量的横截面上，则为 和 。由于是轴对称问题，故没有扭矩。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 把x 轴和y 轴分别转到这个微分单元体的r 和 方向，则利用坐标转换公式，有： Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 三、应力分量 利用坐标转换公式，同理有： 将应力分量用内力表示有： Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 例3 半径为a的实心圆板，周边固支，受均布载荷 及圆心处的集中力P 作用，求挠度。 解：由题意知，本题为圆板轴对称弯曲，挠曲线方程为： 取特解 知通解为 由实心圆板中心处的挠度 应有界知： 从板中取出半径为r 的部分圆板，由z方向的平衡条件给出 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 故 而又有 故 由 得 由 得 故板的挠度 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 第七节 变分法求薄板的位移 薄板小挠度弯曲时， 为微量，可略去不计。此时弹性薄板的变形能: 用挠度 表示: Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 其中A为薄板面积。 对于板边固定的任意形状板，以及板边界处 的多边形（板中无孔洞），由分步积分公式得: 对于固定板， 即 对于沿板边 的矩形板，总有 或 因此 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 即弹性板的变形能简化为： 例4 求四边简支矩形板 在均布载荷 作用下的挠度。 解：用里兹法。取板的挠度为如下重三角级数 显然，该级数的每一项都满足四边简支的边界条件。 板的弹性变形能： Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.