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张量——初学者必看讲述
A-7 曲线坐标下的张量分析 二、局部基矢量 在笛卡儿坐标系, 空间任意向量(张量)都可以在基上分解。这种做法可进行两种不同的解释: (l) 空间里只有一个固定在原点的基ei, 先将向量(张量)平行移至原点, 然后在这基上分解。 (2)在定义区域内每点都有一个与ei相同的基, 即局部基, 向量(张量)在本作用点的局部基上就地分解。 在曲线坐标系, 如果只用一个固定基的做法, 就会使曲线坐标的引人成为无的放矢。我们采用第二种做法, 在空间每一点都建立局部基。 A-7 曲线坐标下的张量分析 A-7 曲线坐标下的张量分析 二、局部基矢量 取一点处坐标曲线的切向量 自然基 度量张量 A-7 曲线坐标下的张量分析 二、局部基矢量 求圆柱坐标系的自然基gi 和度量张量gij A-7 曲线坐标下的张量分析 二、局部基矢量 求圆柱坐标系的自然基gi 和度量张量gij A-7 曲线坐标下的张量分析 二、局部基矢量 笛卡儿坐标系中关于张量的定义和张量的运算等,可以推广到曲线坐标系, 区别只在于这时的基矢量gi及变换系数?i’i是空间点位置的函数。如张量A在曲线坐标系可以写成 由于在曲线坐标系并非所有坐标都具有长度量纲 , 例如 , 圆柱坐标中的。因此 , 相对 应的自然基矢量就不是无量纲的单位矢量。具有一定物理意义的向量 ( 张量 ) 在这样的基上 的各分量并不具有物理量纲, 从而给直接的物理解释带来不便。 A-7 曲线坐标下的张量分析 二、局部基矢量 为了使张量在每个具体坐标系里能取得具有物理量纲的分量 , 在正交曲线坐标系 , 取切 于坐标曲线的无量纲单位矢量作为基矢量 , 即 正交单位标架为物理标架, 或称物理基 在物理标架上分解的张量, 其相应的各分量能取得相同的物理量纲 圆柱坐标下的张量分析 圆柱坐标下的张量分析 A-7 曲线坐标下的张量分析 三、张量对曲线坐标的导数 标量场? 沿 s 方向的方向导数为 两边点乘 A-7 曲线坐标下的张量分析 三、张量对曲线坐标的导数 标量场?沿 s 方向的方向导数为 形式导数 A-7 曲线坐标下的张量分析 1. 克里斯多弗符号 A-7 曲线坐标下的张量分析 1. 克里斯多弗符号 A-7 曲线坐标下的张量分析 1. 张量的梯度 圆柱坐标下的张量分析 圆柱坐标下的张量分析 圆柱坐标下的张量分析 圆柱坐标下的张量分析 圆柱坐标下的张量分析 圆柱坐标下的张量分析 圆柱坐标下的张量分析 八、指标置换 §A-4 张量的代数运算 A 张量分析 若对该张量的分量中任意两个指标交换次序, 得到一个与原张量同阶的新张量 九、对称化和反对称化 §A-4 张量的代数运算 A 张量分析 若张量的任意两个指标经置换后所得的张量与原张量相同, 则称该张量关于这两个指标为对称, 若与原张量相差一符号, 则称该张量关于这两个指标为反称。 有6个独立分量 有3个独立分量 九、对称化和反对称化 §A-4 张量的代数运算 A 张量分析 ?对称化:对已知张量的N个指标进行N!次不同的置换, 并取所得的N!个新张量的算术平均值的运算。其结果张量关于参与置换的指标为对称。将指标放在圆括弧内表示对称化运算。 九、对称化和反对称化 §A-4 张量的代数运算 A 张量分析 ?反称化: 对已知张量的 N 个指标进行N!次不同的置换,并将其中指标经过奇次置换的新张量取反号,再求算术平均值, 这种运算称张量的反称化,其结果张量关于参与置换的指标为反称。将指标放在方括弧内表示反称运算。 十、商法则 若在某坐标系中按某规律给出 33=27 个数 A(ijk), 且A(ijk)bk=Cij, 其中bk 是与A(ijk)无关的任意矢量 , Cij是张量 , 那么 , A(ijk)必为比Cij高一阶的张量。 §A-4 张量的代数运算 A 张量分析 用于判定某些量的张量性! §A-5 二阶张量(仿射量) A 张量分析 B的作用如同一个算子, 它使空间内每一个向量变换为另一个向量, 或者说 B 能把一个向量空间映射为另一向量空间。 §A-5 二阶张量(仿射量) A 张量分析 一、仿射量的转置BT 对称张量 反对称张量 §A-5 二阶张量(仿射量) A 张量分析 一、仿射量的转置BT α和b为任意向量 A 张量分析 §A-5 二阶张量(仿射量) 一、仿射量的逆B-1 A 张量分析 §A-5 二阶张量(仿射量) 三、对称仿射量的主向和主值 对于仿射量B, 若存在三个相互垂直的方向i,j,k, 其映象 B·i,B·j,B·k也相互垂直, 则称该三个方向为 B 的主向。对称仿射量T 必存在三个主向和三个相应的主值。主值S 满足如下特征方程
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