弹性力学简明教程第四章讲述.ppt

半平面体表面受有均布水平力q，试用应力函数 求解应力分量。 例题2（习题4-9） 第四章例题 解：首先检验 ，已满足 。由 求应力，代入应力公式得 第四章例题 再考察边界条件。注意本题有两个 面,即 ，分别为 面。在 面上，应力符号以正面正向、负面负向为正。因此，有 代入公式，得应力解答， 第四章例题 设半平面体在直边界上受有集中力偶，单位宽度上的力矩为M，试求应力分量。 第四章例题 例题3（习题4-18） （1）按量纲分析方法，单位宽度上的力偶矩与力的量纲相同。应力应与 有关，由于应力的量纲是单位面积上的力，即 ，应力只能以 形式组合。 解：应用半逆解法求解。 第四章例题 （2） 应比应力的长度量纲高二次幂，可假设 。 删去因子 ，得一个关于 的常微分方程。令其解为 ，代入上式，可得到一个关于 的特征方程， 第四章例题 （3）将 代入相容方程，得 其解为 于是得 的四个解  ；前两项又可以组合为正弦、余弦函数。由此得 本题中结构对称于 的 轴，而 是反对称荷载，因此，应力应反对称于 轴，为 的奇函数，从而得 第四章例题 （5）考察边界条件。由于原点o有集中力偶 作用，应分别考察大边界上的条件和 原点附近的条件。 在 的边界上，有 第四章例题 （4）由 求得应力分量， 为了考虑原点o附近有集中力偶的作用，取出以o为中心， 为半径的一小部分脱离体，并列出其平衡条件， 前一式自然满足，而第二式成为 第四章例题 (a) 上式中前两式自然满足，而第三式成为 再由式（a）得出 代入应力公式，得最后的应力解答， 第四章例题 (b) 设有厚度为1的无限大薄板，在板内小孔中受集中力F，试用如下的应力函数求解， 第四章例题 例题4（习题4-19） x y 0 F （1）经校核，上述 满足相容方程。 解： （2）代入应力公式，得 第四章例题 （3）考察边界条件。本题只有原点o附近的小孔口上作用有集中力F，可取出包含小孔口在内的、半径为 的脱离体，列出其三个平衡条件： 第四章例题 将应力代入上式，其中第二、三式自然满足，而第一式得出 第四章例题 (a) （4）由此可见，考虑了边界条件后还不足以确定待定常数。注意到本题是多连体，应考虑位移的单值条件。因此，先求出应变分量，再积分求出位移分量，然后再考虑单值条件。 第四章例题 由物理方程求出应变分量， 第四章例题 代入几何方程，得 由前两式积分，得 第四章例题 将 代入第三式，并分开变量，得 第四章例题 （3）凹角的角点应力高度集中，曲率半径愈小，应力愈大。 因此，工程上应尽量避免接近直交的凹角出现。 如正方孔 的角点， 角点曲率半径 应力集中现象 5.一般小孔口问题的分析： （1）假设无孔，求出结构在孔心处的 、 、 。 （2）求出孔心处主应力 （3）在远处的均匀应力场 作用下，求 出孔口附近的应力。 小孔口解法 应用弹性力学问题的复变函数解法，已经 解出许多各种形状的小孔口问题的解答。复变 函数解法是一种求解弹性力学解答的解析方法， 它将复变函数的实部和虚部(均为实函数)分别 表示弹性力学的物理量，将弹性力学的相容方 程(重调和方程 )也化为复变函数方程，并结合 边界条件进行求解。 6. 其他小孔口问题的解答 为了了解小孔口应力集中现象的特性和便 于工程上的应用，我们把远处为 (压应 力场)作用下，椭圆类孔口、矩形类孔口和廊道 孔口的应力解答表示在下图中，它们的应力分 布情况如下。 -4 3/2 b a 1 1 -2.23 1 2/3 -1 1 0 1 -3 1 1.00 -2.5