1.3.1单调性与最(小)值PPT1.3.1单调性与最大(小)值PPT.ppt

函数 单调区间 单调性 增函数 增函数 减函数 减函数 最大 0.5 0.2 -2 观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律： 1、观察这三个图象，你能说出图象的特征吗？ 2、随x的增大，y的值有什么变化？ 问题1 画出f(x)=x的图像，并观察其图像。 2、在区间 ________上，随着x的增大，f(x)的值随着 ______. o 5 -5 -5 5 f(x)=x 1、从左至右图象上升还是下降 ____? 上升 增大 1、在区间 ________ 上，f(x)的值随着x的增大而 ______. 问题2 画出 的图像，并观察图像. o 5 -5 -5 5 2、 在区间 ________ 上，f(x)的值随着x的增大而 _____. (-∞,0] (0,+∞) 减小 增大 函数单调性的概念： 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数,如图1 . 1．增函数 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2 ，当x1x2时，都有f(x1)f(x2) ，那么就说f(x)在区间D上是减函数 ,如图2. y x 0 x1 x2 f(x1) f(x2) y=f(x) 图1 y x 0 x1 x2 f(x1) f(x2) y=f(x) 图2 1、函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质. 2 、必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1x2时，总有f(x1)f(x2) 或f(x1)f(x2) 分别是增函数和减函数. x y 2 1 0 1 3 对于函数y= f(x) ，若在区间 I 上，当x＝1时, y＝1; 当 x＝2时, y＝3 , 能说在区间 I 上函数值 y 随自变量 x的增大而增大吗? 如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间. 函数的单调性定义 例1.下图是定义在 闭区间[-5,5]上的函数y=f(x)的图象,根据图象说出y=f(x)的单调区间,以及在每个单调区间上, y=f(x)是增函数还是减函数? 解:函数y=f(x)的单调区间有[-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5], 其中y=f(x)在区间[-5,-2),[1,3)上是减函数, 在区间[-2,1),[3,5]上是增函数. 用定义证明函数单调性的步骤是： （1）取值 （2）作差 （4）定号 （5）结论 根据单调性的定义得结论 即取 是该区间内的任意两个值且 即求 （3）变形 通过因式分解、配方、有理化等方法 即根据给定的区间和 的符号来确定 的符号 例2 求证：函数 在区间 上是单调增函数． ，则 证明：在区间（0，+∞）上任取两个值 且 又因为 ， ，所以说 即函数 在区间（0，+∞）上是单调增函数. 探究 画出反比例函数 的图象． 1 这个函数的定义域是什么？ 2 它在定义域I上的单调性怎样？证明你的结论． x y 0 {x∣x≠0} 分两个区间(0，+∞)，（- ∞ ，0）来考虑其单调性. 函数f(x)=1/x 在(0，+∞)上是减函数. f(x1)- f(x2)= 由于x1,x2 得x1x20,又由x1x2得x2-x10 所以f(x1)- f(x2)0, 即f(x1) f(x2). 证明：（1）在区间(0，+∞)上，设x1,x2是(0，+∞)上任意两个实数，且x1x2，则 （2）在区间（- ∞ ，0）上，同理可得到函数f(x)=1/x 在（- ∞ ，0）上是减函数。 下列两个函数的图象： 图1 o x0 x M y y x o x0 图2 M 观 察 观察这两个函数图象，图中有个最高点，那么这个最高点的纵坐标叫什么呢？ 思考 设函数y=f(x)图象上最高点的