2.3.1双曲线及其准方程2.3.1双曲线及其标准方程.ppt

例2 * * 问题1：椭圆的定义是什么？ 平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于|F1F2| ）的点的轨迹叫做椭圆。 问题2：椭圆的标准方程是怎样的? 问题3：如果把椭圆定义中“距离的和”改为“距离的差”那么动点的轨迹会发生怎样的变化？ 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于|F1F2|,且不等于0）的点的轨迹叫做双曲线。 这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。 通常情况下,我们把|F1F2|记为2c（c0); 常数记为2a(a0). 问题5:定义中为什么强调常数要小于|F1F2|且不等于0（即02a2c）？如果不对常数加以限制 ，动点的轨迹会是什么？ 问题4:定义中为什么强调距离差的绝对值为常数？ 一.双曲线的定义 ①若2a=2c,则轨迹是什么？ ②若2a2c,则轨迹是什么？ ③若2a=0,则轨迹是什么？ 此时轨迹为以 或 为端点的两条射线 此时轨迹不存在 此时轨迹为线段F1F2的垂直平分线 F1 F2 F1 F2 分3种情况来看： F1 F2 二.双曲线标准方程 ① 建系 使 轴经过两焦点 ， 轴为线段 的垂直平分线。 O ② 设点 设 是双曲线上任一点， 焦距为 ，那么 焦点 又设|MF1|与|MF2| 的差的绝对值等于常数 。 ③ 列式 即 将上述方程化为： 移项两边平方后整理得： 两边再平方后整理得： 由双曲线定义知： 即： 设 代入上式整理得： 两边同时除以 得： ④化简 这个方程叫做双曲线的标准方程,它所表示的双曲线的焦点在x轴上,焦点是 F1(-c，0),F2(c，0). 其中c2=a2+b2. 类比椭圆的标准方程，请思考焦点在y轴上的双曲线的标准方程是什么？ 其中c2=a2+b2. 这个方程叫做双曲线的标准方程 ，它所表示的双曲线的焦点在y轴上，焦点是 F1(0，-c)，F2(0，c). 三.双曲线两种标准方程的比较 ① 方程用“－”号连接。 ② 分母是 但 大小不定。 ③ 。 ④如果 的系数是正的，则焦点在 轴上；如果 的系数是正的，则焦点在 轴上。 O M F2 F1 x y F 2 F 1 M x O y 判断下列方程是否表示双曲线？若是，求出 及焦点坐标。 答案： 题后反思： 先把非标准方程化成标准方程，再判断焦点所在的坐标轴。 解：因为双曲线的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为 因此,双曲线的标准方程为 例1.已知双曲线的焦点 F1(-5,0),F2(5,0),双曲线上一点P到焦点的距离差的绝对值等于8,求双曲线的标准方程。 所以2c=10，2a=8。即a=4，c=5 那么b2=c2-a2=25-16=9 根据已知条件,|F1F2|=10. ||PF1|-|PF2||=8， 练习：求适合下列条件的双曲线的标准方程。 ①焦点在在 轴上， ②焦点在在 轴上，经过点 . 答案: ① ② 设双曲线的标准方程为 代入点 得 令 则 故所求双曲线的标准方程为 解得 使A、B两点在x轴上，并且点O与线段AB的中点重合 解: 由声速及在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,可知A地与爆炸点的距离比B地与爆炸点的距离远680m.因为|AB|680m,所以爆炸点的轨迹是以A、B为焦点的双曲线在靠近B处的一支上. 例2已知A,B两地相距800m,在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程. 如图所示，建立直角坐标系xOy, 设爆炸点P的坐标为(x,y)，则 即 2a=680，a=340 x y o P B A 因此炮弹爆炸点的轨迹方程为 例2 * *