2014届高考数学一复习教学案基本不等式(含解析)_——谢丹军2014届高考数学一轮复习教学案基本不等式(含解析)_——谢丹军.doc

第四节基本不等式一、基本不等式≤ 1．基本不等式成立的条件：a0，b0. 2．等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． 二、几个重要的不等式 a2＋b2≥2ab(a，bR)；＋≥2(a，b同号)． ab≤2(a，bR)；2≤(a，bR)． 三、算术平均数与几何平均数 设a0，b0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 四、利用基本不等式求最值问题 已知x0，y0，则： (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2.(简记：积定和最小) (2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是.(简记：和定积最大) [小题能否全取] 1．(教材习题改编)函数y＝x＋(x＞0)的值域为(　　) A．(－∞，－2][2，＋∞)　　B．(0，＋∞) C．[2，＋∞) D．(2，＋∞) 解析：选C　x＞0，y＝x＋≥2，当且仅当x＝1时取等号． 2．已知m0，n0，且mn＝81，则m＋n的最小值为(　　) A．18 B．36 C．81 D．243 解析：选A　m0，n0，m＋n≥2＝18.当且仅当m＝n＝9时，等号成立． 3．(教材习题改编)已知0x1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为(　　) A. B. C. D. 解析：选B　由x (3－3x)＝×3x(3－3x)≤×＝，当且仅当3 x ＝3 —3 x ，即x ＝时等号成立． 4．若x1，则x＋的最小值为________． 解析：x＋＝x－1＋＋1≥4＋1＝5. 当且仅当x－1＝，即x＝3时等号成立． 答案：5 5．已知x＞0，y＞0，lg x＋lg y＝1，则z＝＋的最小值为________． 解析：由已知条件lg x＋lg y＝1，可得xy＝10. 则＋≥2 ＝2，故 min＝2，当且仅当2y＝5x时取等号．又xy＝10，即x＝2，y＝5时等号成立． 答案：2 1.在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． 2．对于公式a＋b≥2，ab≤2，要弄清它们的作用和使用条件及内在联系，两个公式也体现了ab和a＋b的转化关系． 3．运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2＋b2≥2ab逆用就是ab≤；≥(a，b0)逆用就是ab≤2(a，b0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等． 利用基本不等式求最值 典题导入 [例1]　(1)已知x＜0，则f(x)＝2＋＋x的最大值为________． (2)(2012·浙江高考)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是(　　) A.　　　　　　　　　　　B. C．5 D．6 [自主解答]　(1)x ＜0，－x ＞0， f(x)＝2＋＋x＝2－. －＋(－x)≥2＝4，当且仅当－x＝，即x＝－2时等号成立． f(x)＝2－≤2－4＝－2， f(x)的最大值为－2. (2)x ＞0，y ＞0，由x ＋3 y＝5 xy得＝1. 3x＋4 y＝·(3x＋4y)·＝＝＋≥＋×2＝5( 当且仅当x ＝2 y时取等号)，3x ＋4 y 的最小值为5. [答案]　(1)－2　(2)C 本例(2)条件不变，求xy的最小值． 解：x ＞0，y ＞0，则5xy ＝x ＋3 y≥2， xy≥，当且仅当x＝3y 时取等号． xy的最小值为. 由题悟法 用基本不等式求函数的最值，关键在于将函数变形为两项和或积的形式，然后用基本不等式求出最值．在求条件最值时，一种方法是消元，转化为函数最值；另一种方法是将要求最值的表达式变形，然后用基本不等式将要求最值的表达式放缩为一个定值，但无论哪种方法在用基本不等式解题时都必须验证等号成立的条件． 以题试法 1．(1)当x＞0时，则f(x)＝的最大值为________． (2)(2011·天津高考)已知log2a＋log2b≥1，则3a＋9b的最小值为________． (3)已知x＞0，y＞0，xy＝x＋2y，若xy≥m－2恒成立，则实数m的最大值是________． 解析：(1)x ＞0，f(x)＝＝≤＝1， 当且仅当x＝，即x＝1时取等号． (2)由log2a ＋log2b≥1得log2(ab)≥1， 即ab≥2，3 a ＋9 b ＝3 a ＋32 b≥2×3(当且仅当3a＝32b，即a＝2b时取等号)． 又a ＋2 b≥2≥4(当且仅当a＝2 b时取等号)， 3a ＋9 b≥2×32＝18. 即当a ＝2 b时，3a＋9b 有最小值18. (3)由x＞0，y ＞0，x y＝x ＋2y ≥2，得x y≥8，于是由m－2≤ xy