2014年秋《全优课》高中数学(配人教A版,必修一)同步课件：第二章+基本初等函数(9份)2.1.2 第2课时2014年秋《全优课堂.ppt

2.1　指数函数 2.1.2　指数函数及其性质 第2课时　指数函数及其性质的应用 函数y＝ax(a0且a≠1)的图象和性质如下表： 对于形如y＝af(x)(a0且a≠1) 的函数，其性质(定义域、值域、单调性)与y＝f(x) 有什么关系？ 【答案】(1)函数y＝af(x)的定义域与f(x)的定义域相同； (2)先确定函数f(x)的值域，根据指数函数的值域、单调性，可确定函数y＝af(x)的值域； (3)当a1时，函数y＝af(x)与函数u＝f(x)的增减性相同；当0a1时，函数y＝af(x)与函数u＝f(x)的增减性相反． 1．若指数函数f(x)＝(a＋1)x是R上的减函数，那么a的取值范围为(　　) A．a2　　 B．a2　　 C．－1a0　　 D．0a1 【答案】C 2．函数y＝ax－(b＋1)(a0且a≠1)的图象在第一、三、四象限，则必有(　　) A．0a1，b0 B．0a1，b0 C．a1，b1 D．a1，b0 【答案】D 解析：对于指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)， 分别在坐标系中画出当0＜a＜1和a＞1时函数的图象(如下)． ∵函数y＝ax－(b＋1)的图象经过第一、三、四象限， ∴a＞1. 由图象平移，知－(b＋1)＜－1，解得b＞0. 【答案】y1＞y3＞y2 4．设23－2x0.53x－4，则x的取值范围是________． 【答案】{x|x1} 1．在进行指数式的大小比较时，可以归纳为以下三类： (1)底数同、指数不同：利用指数函数的单调性解决； (2)底数不同、指数同：利用指数函数的图象进行解决．在同一平面直角坐标系内画出这两个函数的图象，依据底数a对指数函数图象的影响，逆时针方向底数在增大，然后观察指数取值对应的函数值即可； (3)底数不同、指数也不同：采用介值法．取1，其中一个大于1，另一个小于1；或者以其中一个的底为底，以另一个的指数为指数．比如ac与bd，可取ad，前者利用单调性，后者利用图象． 2．解指数不等式问题需注意以下三点： (1)形如axab的不等式，借助于函数y＝ax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a1与0a1两种情况讨论； (2)形如axb的不等式，注意将b转化为以a为底的指数幂的形式，再借助于函数y＝ax的单调性求解； (3)形如axbx的不等式，利用图象求解． 题型一　利用指数函数单调性比较大小 【例1】 比较下列各题中两个值的大小： (1)3π与33.14；(2)0.99－1.01与0.99－1.11； (3)1.40.1与0.90.3. 思路点拨：利用指数函数单调性求解． 解：(1)构造函数y＝3x. ∵a＝31，∴y＝3x在(－∞，＋∞)上是增函数． ∵π3.14， ∴3π33.14. (2)构造函数y＝0.99x. ∵0a＝0.991， ∴y＝0.99x在(－∞，＋∞)上是减函数． ∵－1.01－1.11，∴0.99－1.010.99－1.11. (3)分别构造函数y＝1.4x与y＝0.9x. ∵1.41,00.91，∴y＝1.4x与y＝0.9x 在(－∞，＋∞)上分别为增函数和减函数． ∵0.10，∴1.40.11.40＝1. ∵0.30，∴0.90.30.90＝1， ∴1.40.110.90.3，∴1.40.10.90.3. 题型二　解简单的指数不等式 【例2】 如果a2x＋1≤ax－5(a0且a≠1)，求x的取值范围． 思路点拨：注意a的取值范围，分类讨论． 解：(1)当0a1时，由于a2x＋1≤ax－5， ∴2x＋1≥x－5，解得x≥－6. (2)当a1时，由于a2x＋1≤ax－5，∴2x＋1≤x－5，解得x≤－6. 综上所述，当0a1时，x的取值范围是{x|x≥－6}；当a1时，x的取值范围是{x|x≤－6}． 2．(1)已知3x≥30.5，求实数x的取值范围； (2)已知0.2x25，求实数x的取值范围． 思路点拨：(1)利用指数函数的性质求解；(2)令t＝ax，则函数的最值问题转化为二次函数在区间上的最值问题． 方法点评：指数函数y＝ax(a1)为单调增函数，在闭区间[s，t]上存在最大、最小值，当x＝s时，函数有最小值as；当x＝t时，函数有最大值at.指数函数y＝ax(0a1)为单调减函数，在闭区间[s，t]上存在最大、最小值，当x＝s时，函数有最大值as；当x＝t时，函数有最小值at. 【例4】 求函数y＝9x＋2·3x－2的值域． 错解：设3x＝t，则9x＝t2， ∴y＝t2＋2t－2＝(t＋1)2－3， ∴ymin＝－3，从而y＝9x＋2·3x－2的值域为[－3， ＋∞)． 错因分析：若y＝－3，则9x＋2·3x＝－1，显然不成立．错因在于没有注意t＝3x0这一隐含条件，在利用换元法时，一定要注意换元后新变量的取值范围． 正解：设