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高中数学复习讲义 第四章 平面向量与复数 【知识图解】 Ⅰ.平面向量知识结构表 Ⅱ.复数的知识结构表 【方法点拨】 由于向量融形、数于一体，具有几何形式与代数形式的“双重身份”，使它成为了中学数学知识的一个重要交汇点，成为联系众多知识内容的媒介。所以，向量成为了“在知识网络交汇处设计试题”的很好载体。从高考新课程卷来看，对向量的考查力度在逐年加大，除了直接考查平面向量外，将向量与解析几何、向量与三角等内容相结合，在知识交汇点处命题，既是当今高考的热点，又是重点。 复习巩固相关的平面向量知识，既要注重回顾和梳理基础知识，又要注意平面向量与其他知识的综合运用，渗透用向量解决问题的思想方法，从而提高分析问题与综合运用知识解决问题的能力，站在新的高度来认识和理解向量。 向量是具有大小和和方向的量，具有“数”和“形”的特点，向量是数形结合的桥梁，在处理向量问题时注意用数形结合思想的应用. 平面向量基本定理是处理向量问题的基础，也是平面向量坐标表示的基础，它表明同一平面内任意向量都可以表示为其他两个不共线向量的线性组合. 向量的坐标表示实际上是向量的代数形式，引入坐标表示，可以把几何问题转化为代数问题解决. 要了解向量的工具作用，熟悉利用向量只是解决平面几何及解析几何中的简单问题的方法. 第1课　向量的概念及基本运算 【考点导读】 理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示. 掌握向量的加法、减法、数乘的运算，并理解其几何意义. 了解平面向量基本定理及其意义. 【基础练习】 1.出下列命题：①若，则；②若A、B、C、D是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件；③若，则；④的充要条件是且；⑤若，，则。其中，正确命题材的序号是③ 2. 化简得 3.在四边形ABCD中，=a+2b，=－4a－b，=－5a－3b，其中a、b不共线，则四边形ABCD为梯形 4.如图，设点P、Q是线段AB的三等分点，若＝a，＝b，则＝，＝ (用a、b表示) 【范例导析】 例1 .已知任意四边形ABCD的边AD和BC的中点分别为E、F，求证：和可得， （1） 由和可得， （2） （1）+（2）得， （3） ∵E、F分别为和BC的中点，，， 代入（3）式得， 点拨:运用向量加减法解决几何问题时,需要发现或构造三角形或平行四边形. 例2.已知不共线，,求证：A,P,B三点共线的充要条件是 分析：证明三点共线可以通过向量共线来证明. 解：先证必要性：若A,P,B三点共线，则存在实数，使得,即,∴∵,∴，∴ 再证充分性：若则==,∴ 与共线，∴A,P,B三点共线. 点拨:向量共线定理是向量知识中的一个基本定理,通常可以证明三点共线、直线平行等问题. 【反馈练习】 1．已知向量a和b反向，则下列等式成立的是（C） A. |a|－|b|=|a－b| B. |a|－|b|=|a+b| C.|a|＋|b|=|a－b| D. |a|＋|b|=|a+b| 2.设四边形ABCD中，有则这个四边形是（C） A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形 3.设A、B、C、D、O是平面上的任意五点，试化简： ①， ②， ③。 解析：①原式= ； ②原式= ； ③原式= 。 4.设为未知向量， 、为已知向量，满足方程2((5+3(4)+(3=0， 则=（用、表示） 5.在四面体O-ABC中，为BC的中点，E为AD的中点，则=（用a，b，c表示） 解： . 第2课　向量的数量积 【考点导读】 理解平面向量数量积的含义及几何意义. 掌握平面向量数量积的性质及运算律. 掌握平面向量数量积的坐标表达式. 能用平面向量数量积处理有关垂直、角度、长度的问题. 【基础练习】 1.已知均为单位向量，它们的夹角为，那么 2.在直角坐标系中，分别是与轴，轴平行的单位向量，若直角三角形中，，，则的可能值个数为2个 3. 若,，与的夹角为，若，则的值为 4.若，且，则向量与的夹角为 120°【范例导析】 例1.已知两单位向量与的夹角为，若，试求与的夹角的余弦值。 分析:利用及求解. 解：由题意，，且与的夹角为，所以，，，同理可得 而，设为与的夹角，则 点评：向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑。 例2.已知平面上三个向量、、的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°， （1）求证：⊥；（2）若，的取值范围. 分析:问题（1）通过证明证明,问题（2）可以利用 解：（1）∵ ，且、