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* 第6章 微分方程模型仿真 常微分方程的数值求解 微分方程模型的建立及仿真 6.1 微分方程的求解 在现在数学研究和工程实践中，很多数学模型都是用微分方程确定的，很多基本方程本身就是一个微分方程，因此求微分方程非常重要，但是大部分的微分方程目前难以求得其解析解，因此人们只有利用计算机强大的计算功能来求其数值解。MATLAB主要使用龙格-库塔法求解微分方程。 在控制系统仿真中，常用的求微分方程数值解的函数是ode23和ode45。 1. ode23 在MATLAB中，函数ode23采用2-3阶龙格-库塔法求解微分方程。 [t,y]=ode23(odefun,tspan,y0) [t,y]=ode23(odefun,tspan,y0,options) odefun：定义微分方程的形式y’=f(t,y) tspan=[t0,tfinal]：表示微分方程的积分限从t0（始值）到tfinal（终值），该积分限也可以是一些离散的点。 y0:初始状态列向量 options：积分参数，包括‘RelTol’（相对误差）和‘AbsTol’（绝对误差），可省略。 例：使用ode23函数求解常微分方程y’=-y+x2+4x+1，x=[1 4]， x=1时，y=1。 解：首先创建函数fun1.m function f=fun1(x,y) f=-y+x^2+4*x+1; 在命令窗口中输入 [x,y]=ode23(fun1,[1,4],1); dy=-y+x.^2+4*x+1; plot(x,y,x,dy); legend(y,dy) 2. ode45 在MATLAB中，函数ode45采用普通4-5阶龙格-库塔法求解微分方程。其使用方法与ode23函数的使用方法基本相同。 ode45函数是大部分场合的首选算法，ode23函数主要适用于精度较低的场合。 例：解经典非线性方程，范得波（Van der Pol）微分方程（ω=2）。 当t=0时，x=1，dx/dt=0。 解：（1）将高阶微分方程式等价变换成一阶微分方程组。 令y1=x且y2=dx/dt dy1/dt=y2 dy2/dt=w(1-y12)y2-y1 （2）编写M文件表示该微分方程，该文件给定时间及y1和y2的值，返回上述的导数值，并将y（y1和y2）与导数值以列向量的形式给出。 function fun2=vdpol(t,y) fun2=[y(2) 2*(1-y(1)^2)*y(2)-y(1)]’ %输出结果必须是列向量，w=2 （3）计算结果如下： [t,y]=ode45(vdpol,[0 30],[1;0]); y1=y(:,1); y2=y(:,2); plot(t,y1,:b,t,y2,-r) legend(‘位移’,‘速度) 3. 定积分的数值解法 MATLAB软件使用quad函数进行定积分的数值解法。使用格式为： q = quad(fun,a,b) fun：被积分函数 a、b：积分上下限 例：计算下列定积分 function y = myfun(x) y = 1./(x.^3-2*x-5); Q = quad(myfun,0,2) Q = -0.4605 F = @(x)1./(x.^3-2*x-5); Q = quad(F,0,2) Q = -0.4605 6.2 微分方程模型 6.2.1 方法描述 微分方程模型是数学模型的一种主要形式。当采用一阶微分方程的数值积分法进行数值计算时，应把高阶微分方程变换成n个一阶微分方程形式。对于微分方程而言，除了少数可以得到解析解外，大多数只能采用数值解法。 在MATLAB中，使用ode函数求解微分方程模型。 6.2.2 简单电路模型仿真 例：在RC电路中，电阻R=5Ω，理想电压源为Vi=20V，电容C=70μF。分析电容元件的电压特性。 （1）分析：电容电压和电流的关系 根据基尔霍夫定律，可得出微分方程 使用ode函数时，对微分方程进行如下假设 （2）建立导数函数 function dy=cap(t,y) Vi=20; R=5; C=70e-6; dy=(Vi-y)/(R*C); （3）使用ode函数进行仿真，仿真时间0～0.006s，Vc初始值为0V。 [t,y]=ode45(cap,[0,0.006],0); plot(t,y) axis([0 0.006 0 25]) title(Vc-Time) xlabel(Time/sec) ylabel(Vc/V) 当电压源为直流电压源时，加载在电容上的电压随时间呈抛物线