《解释几何 第四版》解与习题 第三章 平面与空间直线《解释几何 第四版》讲解与习题 第三章 平面与空间直线.ppt

交于一条直线L，则以直线L为轴的有轴平面束的 方程为 m(A1x+B1y+C1z+D1)+n(A2x+B2y+C2z+D2)=0 其中m,n是不全为零的任意实数。（证略） 定理3.8.2 如果两个平面 ?1：A1x+B1y+C1z+D1=0 ?2：A2x+B2y+C2z+D2=0 为平行平面，即A1:A2=B1:B2=C1:C2,则方程 m(A1x+B1y+C1z+D1)+n(A2x+B2y+C2z+D2)=0 表示平行平面束，平面束中的任一平面都与?1平行。 m,n不全为零，且m:n≠A1:A2=B1:B2=C1:C2. 推论：由平面?：Ax+By+Cz+D=0决定的平行平面束 的方程为 Ax+By+Cz+λ=0 其中λ为任意实数。 例1 求通过直线 且与平面 x+y+z-1=0 垂直的平面的方程。 解： 设所求平面的方程为 m(2x+y-2z+1)+n(x+2y-z-2)=0 即(2m+n)x+(m+2n)y+(-2m-n)z+(m-2n)=0 由两平面垂直的条件，得 即(2m+n)+(m+2n)+(-2m-n)=0 即 m+2n=0 因此 m:n=2:(-1) 所求平面的方程为 3x-3z+4=0 例2、求与平面3x+y-z+4=0平行且在Oz轴上截距为-2 的平面的方程。 解： 设所求平面的方程为 3x+y-z+λ=0 因为平面在Oz轴上的截距为-2，故平面过点(0,0,-2). 由此得 2+λ=0 λ=-2 故所求平面的方程为 3x+y-z-2=0 例题 例3 试证两直线 与 在同一平面上的充要条件是: 证明：通过 的任意平面为 其中 是不全为零的任意实数；通过 的任意平面为 其中 是不全为零的任意实数；直线 ，在同一平面上的充要条件时存在不全为零的实数 ， ， ， 整理得: 方程组有非零解，系数行列式 例4 直线方程 的系数应满足什么条件才能使该直线在坐标平面 内. 例5 求直线 在平面 上的射影. 作业:P137-138:3,6 作业:P119-120:1(4),3(3),4(1) 第五节 直线与平面的相关位置 设直线和平面的方程分别为 一、直线与平面的位置关系的充要条件 定理1 直线(1)与平面(2)的相互位置关系有下列的 充要条件： 1o 相交： ? AX+BY+CZ≠0 2o 平行 ? AX+BY+CZ=0 Ax0+By0+CZ0+D≠0 3o 重合 ? AX+BY+CZ=0 Ax0+By0+CZ0+D=0 证：将直线方程改与为参数式 将（3）代入（2）并整理得 (AX+BY+CZ)t= -(Ax0+By0+Cz0+D) （4） 因此，当且仅当AX+BY+CZ≠0时，（4）有唯一解 这时直线与平面有唯一公共点； 当且仅当AX+BY+CZ=0， Ax0+By0+Cz0+D≠0时 方程（4）无解， 这时直线与平面有没有公共点； 当且仅当AX+BY+CZ=0， Ax0+By0+Cz0+D=0时 方程（4）有无数个解，这时直线在平面内。 定义 直线和它在平面上的投影直线的夹角 称为直线与平面的夹角． ^ ^ 二、直线与平面的夹角 （1）直线与平面的夹角公式 （2）直线与平面的位置关系： // ? s // n ? s ? n 例1: 判定下列各组直线与平面的关系. 解: L的方位向量 s ={?2, ?7, 3} ? 的法向量 n ={4, ?2, ?2} s ? n = (?2) ? 4 + (?7) ? (?2) + 3 ? (?2) = 0 又M0(?3, ? 4, 0)在直线L上, 但不满足平面方程, 所以L与? 平行, 但不重合. 解: L的方位向量 s ={3, ?2, 7} ? 的法向量 n ={6, ?4, 14} ? L 与 ? 垂直. 解: L的方位向量 s ={3, 1, ?4} ? 的法向量 n ={1, 1, 1} s ? n = 3 ? 1 + 1 ? 1 + (?4) ?1 = 0 又L上的点 M0(2, ?2, 3)满足平面方程, 所以 , L 与 ? 重合. 解 为所求夹角． 注2 直线和平面平行时，其距离等于 到平面的距离。 几点注意： 注1 直线与平面的位置关系，是点、平面、直线关系的纽带，是求直线、平面方程的