一元微分函数的软件求解.doc

一元函数微分学应用 实验目的： 1、理解并掌握用函数的导数求单调区间、凹凸区间、极值的方法。 2、结合图形理解泰勒公式和中值定理的意义。 实验内容： 1、求函数的单调区间、凹凸区间、极值。 2、求函数的泰勒公式，并绘制函数及其泰勒公式的图形。 3、验证中值定理的正确性。 3.1实验准备 3.1.1 数学原理： 1）利用导数求函数的单调区间 设函数在某个区间内有导数，如果在这个区间内，那么函数在此区间为的增函数；如果在这个区间内，那么函数在此区间内为减函数. 2）利用导数求函数的凹凸区间 设函数在区间内的二阶导数存在，（1）若在内，则函数在区间内是凹的；（2）若在内，则函数在区间内是凹的. 函数的拐点一定是的点或不存在的点，但的点或不存在的点不一定是函数的拐点满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如在两侧满足“左负右正” ，则是的极小值点，是极小值. 4）泰勒公式 对于正整数，若函数在闭区间上阶连续可导，且在上阶可导。任取是一定点，则对任意成立下式： 其中，表示的阶导数，多项式称为函数在处的泰勒展开式，剩余的是泰勒公式的余项，是的高阶无穷小。 5）中值定理 【满足以下条件：在闭区间上连续，在内可导，，则至少存在一个，使得。 【拉格朗日中值定理】 若函数在区间满足以下条件： （1）在上可导；（2）在上连续； 则必有一，使得。 【柯西（Cauchy）中值定理】 设函数、上连续； （2）在开区间内可导； （3）对任意，， 那么在内至少有一点，使得. 3.1.2函数命令： 1.求多项式方程的近似根的命令NSolve和NRoots 命令NSolve的基本格式为：NSolve[f[x]= =0,x]。执行后得到多项式方程的所有根(包括复根)的近似值. 命令NRoots的基本格式为：NRoots[f[x]= =0,x,n]。它同样给出方程所有根的近似值. 但是二者表示方法不同. 在命令NRoots的后面所添加的选项n, 要求在求根过程中保持n位有效数字；没有这个选项时, 默认的有效数字是16位. 2.求一般方程的近似根的命令FindRoot 命令的基本格式为 FindRoot[f[x]= =0,{x,a},选项] 或者 FindRoot[f[x]= =0,{x,a,b},选项] 其中大括号中x是方程中的未知数, 而a和b是求近似根时所需要的初值. 执行后得到方程在初值a附近, 或者在初值a与b之间的一个根. 方程的右端不必是0, 形如的方程也可以求根. 此外, 这个命令也可以求方程组的近似根. 此时需要用大括号将多个方程括起来, 同时也要给出各个未知数的初值. 例如, FindRoot[{f[x,y]= =0,g[x,y]= =0},{x,a},{y,b}] 由于这个命令需要初值, 应先作函数的图形, 确定方程有几个根, 以及根的大致位置, 或所在区间, 以分别输入初值求根. 命令的主要选项有: (1) 最大迭代次数:MaxIterations-n, 默认值是15. (2) 计算中保持的有效数字位数:WorkingPrecision-n, 默认值是16位. 3.求函数极小值的近似值的命令FindMinimum 命令的基本格式为 FindMinimum[f[x],{x,a}, 选项] 执行后得到函数在初值a附近的一个极小值的近似值。这个命令的选项与FindRoot相同, 只是迭代次数的默认值是30. 如果求函数的极大值的近似值, 可以对函数用这个命令. 不过, 正确的极大值是所得到的极小值的相反的数. 使用此命令前, 也要先作函数的图形, 以确定极值的个数与初值. 4.作平面图元的命令Graphics 如果要在平面上作点、圆、线段和多边形等图元, 可以直接用命令Graphics. 例如, 输入 g1=Graphics[Line[{{1,-1},{6,8}}],Axes-True] 执行后得到以(1,-1)和(6,8)为端点的直线段. 实际上Show命令中可以添加命令Graphics的所有选项. 如果要作出过已知点的折线, 只要把这些点的坐标组成的集合放在命令Line[ ]之内即可. 如输入 Graphics[Line[{{0,0},{1,2},{3,-1}}],Axes-True] 输出为图. 3.2设计实验 3.2.1求函数的单调区间 例1 求函数的单调区间. 输入 f1[x_]:=x^3-2x+1; Plot[{f1[x],f1 [x]},{x,-4,4},PlotStyle-{GrayLevel[0.01],Dashing[{0.01}]}] 则输出如图. 图中的虚线是导函数的图形. 观察函数的增减与导函数的