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/ * * * * 学习目标： 1）通过实际问题，借助直观（如直方图），了解正态分布曲线和正态分布； 2）认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义； 3）会查正态分布表，求满足标准正态分布的随机变量X在某范围内的概率； 高二数学 选修2-3 1、正态分布与正态曲线 若总体密度曲线就是或近似地是函数： 的图象 前课复习 注：1)正态分布由参数μ,σ唯一确定.μ,σ分别表示 总体的均值和标准差； 2)其函数图象称为正态曲线； 3)此总体是有无限容量的抽象总体。 的图象称为正态曲线。 则其分布称为正态分布,常记作： （1）当 = 时,函数值为最大. （3） 的图象关于 对称. （2） 的值域为 （4）当 ∈ 时 为增函数. 当 ∈ 时 为减函数. 2、正态曲线的图像特征 μ （-∞，μ] （μ，+∞） 正态曲线 =μ 0 1 2 -1 -2 x -3 3 X=μ σ y 3、正态曲线的性质 （1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交; （2）曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称; （4）曲线与x轴之间的面积为1; （3）曲线在x=μ处达到峰值(最高点) （5）若 固定, 随 值的变化而沿x轴平移, 故 称为位置参数; （6）当μ一定时，曲线的形状由σ确定 .σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中. 4、标准正态曲线 当μ＝0，σ＝1时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表达式是 其相应的曲线称为标准正态曲线。标准正态总体N（0，1）在正态总体的研究中占有重要地位。任何正态分布的问题均可转化成标准总体分布的概率问题。 五、标准正态分布表 由于标准正态总体 在正态总体的研究中有非常重要的地位，已专门制作了“标准正态分布表”见附表1. 前课复习 表中，相应于 的值 是指总体取值小于 的概率，即： 如图中，直线x=x0左侧阴影部分： 5、标准正态分布表 由于标准正态曲线关于 轴对称，表中仅给出了对应与非负值 的值 。 如果 那么由下图中两个阴影部分面积相等知： 前课复习 利用标准正态分布表，可求出标准正态总体在任一区间 内取值的概率。 即，可用如图的蓝色阴影部分表示。 公式： 前课复习 即事件在一次试验中几乎不可能发生。 ◎小概率事件的含义：假设检验思想 在区间(μ-3σ,μ+3σ)之外取值的概率不足0.3%,即ξ几乎不可能在区间(μ-3σ,μ+3σ)之外取值,人们常把这一点作为数理统计中的基本原则之一,称为“3σ”原则.(小概率事件) 假设检验的基本思想 知识补充 2 示例1.查表求下列各值： ?(?0.5)、 ?(2.3)、 ?(?1.45) 0.3085 0.9893 0.0735 例题讲解 示例2.灯泡厂生产的白炽灯寿命ξ(单位:h),已知ξ?N(1000,302),要使灯泡的平均寿命为1000h的概率为99.7％, 问灯泡的最低使用寿命应控制在多少小时以上？ 解：因为灯泡寿命ξ ? N(1000, 302)， 故ξ在(1000?3?30, 1000+3?30)内取值的概率为99.7％， 即在(910,1090)内取值的概率为99.7％， 故灯泡的最低使用寿命应控制在910 h以上 . 例3.假设某市今年高考考生成绩?服从正态分布N(500,1002)， 现有25000名考生，计划招生10000名，试估计录取分数线. 解：设分数线为?，则分数超过?的概率应为录取率， 即 查表得?(0.25)?0.5987，故 ∴??525 故录取分数线估计为525分. 例题讲解 例4.某市农民年均收入服从?=500元，?=20元的正态分布. (1)求此市农民年均收入在500元?520元间人数的百分比; (2)若要使农民的年均收入在(??a,?+a)的概率不少于0.95， ， 则a至少为多大？ 解：设?表示此市农民年均收入，则??N(500,202) =?(1)? ?(0)=0.3431 即此市农民年均收入在500元?520元间人数约为34.31% 例题讲解 例题讲解 例题讲解 练习1:设随机变量ξ∽ ,且P(ξ≥-2.5)=0.6915, P(ξ≤3.5)=0.8413,求μ与σ. 解: 课堂练习 练习2:公共汽车的高度是按照确保99%以上的成年男子头部不跟车门顶部碰撞