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思考: 交线情况如何? 交线情况如何? Fig 3 第五节 空间曲线及其方程 一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影 复习 方程 的图形是怎样的？ 根据题意有 图形上不封顶，下封底． 解 一、空间曲线的一般方程 空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组 例1,方程组 表示圆柱面与平面的交线 C. C 空间曲线可以看作两个曲面的交线． x y z O 两曲面的交线 空间曲线可以看作两个曲面的交线． x y z O 两平面的交线 例2 方程 表示什么样的曲线？ 解 交线如图: 例3 方程 表示什么样的曲线？ 解 交线为: 例4 方程组 表示怎样的曲线？ 上半球面, 圆柱面, 交线如图. 解 例5 方程组 表示怎样的曲线？ 解 表示圆柱面， 表示平面， 表示它们的交线， 为椭圆。 二、空间曲线的参数方程 将曲线C上的动点坐标x, y, z表示成参数t 的函数: 称它为空间曲线的 参数方程. 例如,圆柱螺旋线 的参数方程为 上升高度 , 称为螺距 . 例1. 将下列曲线化为参数方程表示: 解: (1) 根据第一方程引入参数 , (2) 将第二方程变形为 故所求为 得所求为 例2. 求空间曲线 ?: 绕 z 轴旋转 时的旋转曲面方程 . 解: 点 M1绕 z 轴旋转, 转过角度? 后到点 则 这就是旋转曲面满足的参数方程 . 例3, 直线 绕 z 轴旋转所得旋转曲面方程为 消去 t 和 ? , 得旋转曲面方程为 三、空间曲线在坐标面上的投影 设空间曲线 C 的一般方程为 消去 z 得投影柱面 则C 在xoy 面上的投影曲线 C′为 消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程 消去y 得C 在zox 面上的投影曲线方程 空间曲线在坐标面上的投影过程： 空间曲线 投影柱面 曲线的投影 例如 在xoy 面上的投影曲线方程为 例4 求曲线 在各坐标面上的投影. 解 （1）消去变量z后得 在 面上的投影为 所以在 面上的投影为线段 （3）同理在 面上的投影也为线段 （2）因为曲线在平面 上， 截线方程为 解: 如图所示: 空间立体或曲面在坐标面上的投影: 空间立体 空间曲面 空间立体或曲面在坐标面上的投影. 空间立体 曲面 例6 解: 半球面和锥面的交线为 表示一个圆 它表示一个圆所围成的区域. 则交线Γ在xOy面上的投影为: ∴ 所求立体在xOy面上的投影为: 1 . 解 y x z o 得交线L： 由 例7 z =0 . 1 y x z o 解 L . . . 得交线L： . 投影柱面 由 例8 ◆空间曲线的一般方程、参数方程． ◆空间曲线在坐标面上的投影及投影方程． 四、小结与教学基本要求： ◆空间立体或曲面在坐标面上的投影及投影方程． ◆掌握: 练习题 解: 交线方程为: 在 面上的投影曲线的方程为: 消去z, 得投影柱面方程: ◆ Fig 1 (2) (1) (3) Fig 2