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* * 第十二章 协方差分析 一、协方差分析的意义和作用 1.协方差分析的意义 1）名词解释： ◆反应变量：反映试验结果的观测值叫反应变量。 例如：施肥试验，试验安排后，观察施用不同肥料苗木的生长量的观察值，叫反应变量。 ◆协变量：与反应变量有线性回归关系的非试验因素的实测值称为协变量。 例如：施肥量不是试验因素，但与反应量（生长量）存在线性关系，那么，测得的生长量有一部分为施肥量所产生的，这部分叫做协变量。 ◆协方差分析：指通过反应变量与协变量之间的线性关系，用数理统计的方法，把非试验因素的影响从试验误差或试验效应中分离出来，调整观测的反应量，正确地估计试验效应的统计分析方法叫协方差分析 2.协方差分析的意义 1）当（x、y）为回归模型时，可以用来矫正回归样本的处理平均数，提高精确度。 2）当（x、y）为相关模型时，可以用来估计不同变异来源的总量方差和协方差。 3.协方差的公式 其中：x：协变量；y:反应变量 同方差分析一样 ，总的协方差，可以进行乘积和与自由度的分解 二、单向分组资料的协方差分析 例P 182，研究A、B、C三种肥料对苹果的增产效果 1.回归模型的协方差分析 施用三种肥料的苹果产量（kg/株） 60.625 1455 54.083 1298 61.750 495 66 69 64 70 61 54 58 52 y 51.875 415 53 58 57 49 50 46 48 44 x C 61.750 494 69 64 63 62 62 67 53 54 y 59.500 476 66 63 61 59 58 64 53 52 x B 58.375 467 50 61 66 56 51 63 66 54 y 50.875 407 44 54 56 49 46 53 58 47 x A 平均 总和 观 察 值 肥料 1）对x变量和y变量进行方差分析 三种肥料苹果施肥前、后产量的方差分析表 891.625 945.833 23 总变异 39.565 830.875 28.083 589.750 21 肥料内（组内） 1 30.376 60.750 6.34** 178.042 356.083 2 肥料间（组间） F MS SS F MS SS y变数 x变数 DF 变异来源 注： F0.05（2，23）=3.47 F0.01 （2，23） =5.78 从上述方差分析看，施肥前，产量（x）存在显著差异，说明24株树，三个组间存在极显著差异。 这种分析，不考虑以前的因素，分析认为不同肥料对果树产量无影响的绪论，这一推断不一定可靠。 但是，我们知道，果树结实与母树原来的营养状态有很大的关系，特别是前一年的产量对第二年的影响，但是只是推论不行，必须进行x-y的回归分析，才能判断二者是否有关，x与y无关，则上述结论正确，若有关系，则上述结论就不一定正确。 要将 矫正到 的水平上，再对 进行的差异性分析，协方差分析可以解决这一问题。 2）协方差分析的步骤： ◆计算处理间、处理内和总变异的DF、SSx、SSy、SPxy x变量总平方和 SSx可分解为两个方面： 组间（处理间）SSk、组内（处理内）SSe y变量总平方和SSy也可分解为两个方面：组间 SSk、组内SSe 总的乘积和SPxy也可分解成两个方面： 组间乘积和SPxyk 、组内乘积和SPxye 组间（处理间）乘积和： 组内乘积和 其中： Tx：x变量的总和；Ty：y变量的总和； Txi：各水平x变量的和； Tyi：各水平y变量的和； n：每个处理内的x-y对数；k：处理数 总的乘积和SPxy 处理间乘积和： 处理内（误差）乘积和： ◆ 测验x与y间是否存在直线回归关系 对处理内（误差项）作回归分析 ① 计算离回归平方和Qe和自由度Ve： k：处理数 n：每组成对资料数 k=3 n=8 ② 计算回归系数b ③ 对回归关系进行检验 ：回归标准误 据 查表 说明：x与y存在极显著直线回归关系 注意： 若通过回归检验，x-y间的回归关系不显著，则不必进行反应变量（y）进行矫正； 如果x-y间回归关系的显著，则必进行反应变量（y）进行矫正。 本例x-y变量间回归系数检验，回归关系极显著，必须对反应量（y）进行矫正。 ◆测定矫正后 的差异性。 ①计算总变异回归平方和 （即对总变异进行回归分析） ② 计算矫正后y值在处理间的平方和。 矫正后，处理间平方和=总回归平方和-离回归平方和 Qkc=Q