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曲线积分与曲面积分 §1 第一型积分的概念和性质 一、质量分布模型和第一型积分 1 测度: 把直线段和曲线段的长度、平面区域 和曲面区域面积、空间区域的体积。 当λ够小,就可使分割无限细, 表示 的测度, 任取 ,则分布在 的质量: 其中f(p)为被积函数，Ω为积分区域，dμ为积分微元。 例1. 若 ,则 二、第一型积分的性质 线性性质 : 设Ω是可测的几何体，函数f（p） 和g(p)在Ω可积,α,β是实常数，则 二、第一型积分的性质 三、矢量函数的第一型积分 三、矢量函数的第一型积分 一、质量分布模型和第一型积分 二、第一型积分的性质 三、矢量函数的第一型积分 2 问题的提出: 设Ω是有可测度的的有界几何体分布在Ω的密度为f(P) [P∈Ω], 将Ω分割成可测的小几何体 表示 的直径, 表示这些大几何体的最大直径. 分割无限细则 就可以描述Ω的质量,记成 物质分布在几何体上的质量: 一、质量分布模型和第一型积分 存在切与Ω的分割方式及 无关，则称之为函数u= f（p）沿Ω的第一型积分或第一类积分，记为 , 即 一、质量分布模型和第一型积分 3 第一型积分的概念： 任取 ，若和式极限 （2）当Ω为平面区域D，测度理解为面积，此时dμ=dσ，这时称为二重积分，记成 （1）当 则dμ= dx。则 一、质量分布模型和第一型积分 （3）当Ω是空间区域V，测度理解为体积，这时称为三重积分或体积分，记成 一、质量分布模型和第一型积分 （4）当Ω是平面或空间曲线L，其体积微元是弧长微元，这时称为第一型曲线积分，记为 （5）当Ω是有界空间曲面，测度理解为面积，此时称为第一型曲面积分，记为 第一型积分的定义可以推广到Ω是n 维欧氏空间Rn的区域的情况。可以证明，若Ω是Rn的有界闭区域，f（p）在Ω连续，则∫Ωf（p）dμ存在，即f（p）在Ω可积。 一、质量分布模型和第一型积分 这就是说，积分 等于Ω的测度。 一、质量分布模型和第一型积分 积分可加性：设 在 可积，将 分为 两个可测的部分 和 ， 则 在 和 都可积,且 积分中值定理： 若 在闭区域 上至少存在一点Q，使得 则 可积且 在 和 若 ), ( ) ( ) ( ) ( p g p f p g p f ￡ W 例2 估计二重积分 其中D为圆形域 二、第一型积分的性质 设 是可测集，若 是定义在 的向量函数，我们定义 沿 的第一型积分为 以为向量函数求极限相当于它的各个分量求极限，若 则 三、矢量函数的第一型积分