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一次函数教学中的误区 闫学勇 学习一次函数时，利用教材给出的问题情境，充分发挥学生的主观能动性，让学生动手操作、交流归纳，鼓励学生通过观察、猜想、验证等方式，认识一次函数，画出一次函数的图象，理解一次函数的性质，讨论函数模型，体会如何把实际问题转化为函数模型，并解决实际问题。 理解并掌握一次函数的性质 学生在学习时，要掌握一次函数的性质： 一次函数中，、是常数，≠0。当=0时，一次函数就变成正比例函数（≠0），正比例函数是一次函数的特殊情形；一次函数的图象是一条经过（0，）、（-，0）的直线；当＞0时，函数值y随x的增大而增大，函数从左到右上升，＞0时，图象经过一、二、三象限，＜0时，图象经过一、三、四象限；当＜0时，函数值y随x的增大而减小，函数从左到右下降，＞0时，图象经过一、二、四象限，＜0时，图象经过二、三、四象限。直线可以看作是由直线上下平移︱︱个单位长度而得到的，当＞0时，向上平移；当＜0时，向下平移。 注意：︱︱越大，直线就越“陡” ；︱︱越小，直线就越“平”。 学生不易掌握的知识和易犯的错误 ⑴ 本节内容学生不易掌握的知识 由一次函数图象归纳其性质，用待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数知识在实际中应用。 ⑵ 学生易犯的错误 利用一次函数定义求待定系数时，容易疏忽系数≠0的情况。 如：当为____时，函数是一次函数。 学生容易仅以，解得，，教师要强调≠0是一次函数定义的重要组成部分，本题中的不仅满足，而且要满足≠0。 将正比例函数与一次函数两者并列时，体会不到两者之间的从属关系，容易解答不全或思维混乱。 如：已知一次函数的图象不经过第三象限，则的取值范围（ ）。 A．＜2 B. ＞1 C.1＜＜2 D.1≤＜2 学生容易错解为：因为该一次函数图象不经过第三象限，即经过第一、二、四象限，所以-2＜0且＞0，解得1＜＜2，故选C。 教师教学时需强调正比例函数是一次函数的特例，解题时注意提醒学生别漏了这种特殊情形。本题中，当即时为正比例函数，图象也不会经过第三象限。因此的取值范围应为1≤＜2，故选D。 实际问题中的一次函数作图，由于自变量取值范围有一定的限制条件，其图象通常为一条线段或射线，但部分学生往往受思维定势的影响作成了直线。 如：拖拉机的油箱中装有油，耕地时平均每小时耗油。写出开始耕地后，油箱中剩油量Q（L）与耕地时间之间的函数关系式，并画出函数图象。 学生大多会求得Q，少部分学生甚至求出0≤＜12，但在画Q的图象时，学生还容易画成一条直线（如图1）： 图1 图2 教师在教学时，需强调函数自变量的取值范围决定着图象的生成和位置，本题中由于自变量0≤＜12，因此所成图象应为一条线段（如图2）。 ④解决函数问题，数形结合思想是精髓，但不少学生往往将“数”与“形”割裂开来，致使问题的解决繁琐冗长，有时甚至找不到问题的切入点而茫然失措。 如：若直线经过点及点，则当 =_____时，＞0。学生容易想到用待定系数法确定该直线的解析式，即通过解方程组，解得，从而确定直线的解析式为，再由＞0，解得＜。对于本题，可以由题意在坐标系中画出该直线（图3）， 图3 观察图象，则答案“当＜时，＞”显得非常直观。即使改编题，图中的点改设为（），也同理可得＜这样直观的结果。 教师在教学时要注意强调数学思想方法尤其是数形结合思想的提炼与运用，通过对图象的研究和分析可以确定函数本身的独特性质，这体现的是数形结合的数学思想。在教学过程中，教师可以安排较多的通过图象分析函数解析式，通过函数解析式分析图象的题目，从而既体现了数形结合的思想，又体现了转化的数学思想，发挥从数和形两个方面共同分析问题的优势，深刻领会函数解析式与函数图象之间的关系，突出两者的转化对分析问题和解决问题的特殊作用。