图形变换对角互补和角含半角旋转.习题集精要.doc

在中，，是的中点，是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段． （1）若且点与点重合（如图1），线段的延长线交射线于点，请补全图形，并写出的度数； （2）在图2中，点不与点重合，线段的延长线与射线交于点，猜想的大小（用含的代数式表示），并加以证明； （3）对于适当大小的，当点在线段上运动到某一位置（不与点，重合）时，能使得线段的延长线与射线交于点，且，请直接写出的范围． 】（1）补全图形，见图1；； （2）猜想：． 证明：如图2，连结． 是的中点， ． 点在直线上， ． 又为公共边， ． 又， ． 在四边形中，． （3）的范围是． 、 在等腰直角中，，，是的中点，点从出发向运动，交于点，试说明的形状和面积将如何变化． 连接．因为且，所以． 因为是的中点，所以，且，则． 因为，所以，所以， 所以．因此是等腰直角三角形，在的运动过程中形状不变． 的面积与边的大小有关．当点从出发到中点时，面积由大变小； 当是中点时，三角形的面积最小；继续向点运动时，面积又由小变大． 如图所示，在四边形中，，，于，若四边形 的面积是16，求的长． 】如图，过点作，延长交于点，容易证得（实际上就是把逆时针旋转，得到正方形） 正方形的面积等于四边形面积为，． 在五边形中，已知，，，连接．求证：平分． 】连接．由于，． 我们以为中心，将逆时针旋转到的位置．因，所以点与点重合，而， 所以、、在一条直线上，点旋转后落在点的位置，且，． 所以． 在与中， 因为，，， 故， 因此，即平分． xOy中，直线与x轴交于点A，与y轴交于B．（1）∠BAO的度数； （2）如图，以A为斜边作等腰直角APD．PF⊥PQ交x轴于点F，作PG⊥x轴于点G．PF＝PQ；如图，以A为斜边作等腰直角AED．连接PD、PO，线段PD、PO有怎样的关系？并． 【答案】（1）直线与x轴交于点A，与y轴交于点B． ∴A（－6，0），B（0，6）． ∴OA=OB． ∴ 在△AOB中，． ∴． （2）在等腰直角三角形APD中， ，DA=DP，． ∴DP⊥AD于D． 由（1）可得． ∴． 又∵PG⊥x轴于G， ∴PG = PD． ∴． ∴． ∴． 即． 又∵PQ⊥PF， ∴． ∴． 在△PGF和△PDQ中， ∴△PGF≌△PDQ（ASA）． ∴PF=PQ． （3）答：OP⊥DP，OP＝DP． 证明：延长DP至H，使得PH=PD． ∵P为BE的中点， ∴PB=PE． 在△PBH和△PED中， ∴△PBH≌△PED（SAS）． ∴BH=ED． ∴． ∴BH∥ED． 在等腰直角三角形ADE中， AD=ED，． ∴AD=BH，. ∴DE∥x轴，BH∥x轴， BH⊥y轴． ∴． 由（1）可得 OA=OB． 在△DAO和△HBO中， ∴△DAO≌△HBO（SAS）． ∴OD=OH，∠5=∠6． ∵, ∴. ∴在等腰直角三角形△DOH中， ∵DP=HP， ∴OP⊥DP，. ∴．∴OP=PD． 、 、分别是正方形的边、上的点，且，，为垂足，求证：． 答案】延长至，使，连结，易证，，． 再证，全等三角形的对应高相等（利用三角形全等可证得），则有． 如图，点是以为圆心，为直径的半圆的中点，，等腰直角三角板角的顶点与点重合，当此三角板绕点旋转时，它的斜边和直角边所在的直线与直径分别相交于、两点．设线段的长为，线段的长为，则下列图象中，能表示与的函数关系的图象大致是（ ）． A． B．C． D． 一模【答案】C 【解析】由角中半角可知，，，，，，，，，，，，，． 故选C． 阅读下面材料： 小炎遇到这样一个问题：如图，点、分别在正方形的边，上，，连结，则，试说明理由． 小炎是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段相对集中．她先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，最后发现线段，是共点并且相等的，于是找到解决问题的方法．她的方法是将绕着点逆时针旋转得到，再利用全等的知识解决了这个问题（如图）． 参考小炎同学思考问题的方法，解决下列问题： （1）如图，四边形中，，点，分别在边，上，．若，都不是直角，则当与满足关系时，仍有； （2）如图，在中，，，点、均在边上，且，若，，求的长． 一模】（1）（或互补）． （2）， 把绕点逆时针旋转至，可使与重合． ， ， 中，， ． 即． ． 在与中， 又，， ． ． 又， ． ． 如图，点、分别是正方形的边、上的点，，连接，则、、之间的数量关系是：．连结，交、于点、，且、、满足，请证明这个等量关系； （2）在中， ，点、分别为边上的两点． 如图，当，时，、、应满足的等量关系是__________； 如图，当，时，、、应满足的等量关系是_____