高等动力学2.5机电系统的动力+课后题2.12讲解.ppt

2.5 机电系统动力学 机电系统： 在机电、电讯、仪表、自动控制等工程中 普遍存在机械和电磁元件组成的系统。 机械元件的机械运动服从动力学基本规律 电磁元件的电磁运动遵循另一种物理规律 在机电系统中 由于电磁运动可以产生作用力，而机械运动可以影响 电荷和磁场的分布，这两类运动相互耦合。 从能量的观点出发，两类运动都服从能量转换的普遍 规律。 将描述机械运动的拉格朗日方程与描述电磁运动的 麦克斯韦（Maxwell,J.C.）方程相结合，形成机电系 统动力学的分析方法。 1.电路方程 2.电磁场的广义力 3.拉格朗日-麦克斯韦方程 1.电路方程 设机电系统包含l个自由度的机械元件和由n个电路组 成的电磁元件。l个机械自由度以坐标 表示。 n个电路有电容 、电感线圈 、电阻 和输入 电压 组成。 将电容器电荷和电流记作 ，设 分别为电阻和电容的电压降(ps:电压降是指当电流通过用电设备后，其设备两端产生的电位差（电势差）。 )以及电感线圈中的感应电动势。 根据克希霍夫（Kirchhoff,G.R.）定律，(ps:克希 霍夫定律的内容是，在任何一个闭合回路中，各元件 上的电压降的代数和等于电动势的代数和，即从一点 出发绕回路一周回到该点时，各段电压的代数和恒等 于零，即∑U=0。) 所以对每个电路列出 (2.5.1) -------电感线圈的感应电动势 -------输入电压 -------电容的电压降 -------电阻的电压降 式中 满足欧姆（Ohm,G.S.）定律，可以用电磁耗散 函数 表示 （2.5.2） 式中 满足欧姆（Ohm,G.S.）定律，可以用电磁耗散 表示 函数 式中 满足欧姆（Ohm,G.S.）定律，可以用电磁耗散 表示 -------电阻的电压降 -------电阻 -------电流 -------电磁耗散函数 在匝数为1时 等于磁通量 的变化率，即 （2.5.3） -------电感线圈的感应电动势 -------磁通量 -------时间 根据法拉第电磁感应定律, 磁通量可利用系统的磁场能量 计算（ps：电 感线圈也是一个储能元件，经过推导，线圈 中储存的磁场能量为： 该式表明磁场能量只与回路电流最终状态有关， 与电流建立的过程无关。）所以磁通量公式为： （2.5.4） 式中， 为第k回路的自感系数， 为第k 回路与第r回路之间的互感系数，均为广义 坐标 的函数， （2.5.5） 可利用系统的静电场能量 计算，即 （2.5.6） -------电容的电压降 -------电荷量 -------电容 -------静电场能量 电容 也是广义坐标 的函数。 将式（2.5.2），（2.5.3），（2.5.4）和（2.5.6） 代入式（2.5.1）， 得到电路方程。 （2.5.7） 2.电磁场的广义力 根据能量守恒定律，输入系统的电功率转为电磁场能 量的变化率，电阻耗散功率，以及电磁作用力完成的机械 功率。 写出电磁系统的功率平衡方程，得到 （2.5.8） 式中 为电磁场产生的广义力。 式（2.5.8）中的磁场能量的变化率为 （2.5.9） 上式右边第一项可利用欧拉齐次函数定理化简，得 （2.5.10） 将上式代入（2.5.9），导出 （2.5.11） 式（2.5.8）中的静电场能量的变化率为 （2.5.12） -------电荷量 -------静电场能量 -------时间 -------磁场能量 -------广义坐标 将式（2.5.11）和（2.5.12）代入式（2.5.8）， 整理得 因电荷的变化率等于电流，令 得到 （2.5.13） 与式（2.5.7） 对照可看出上式 左边为零。 因 为独立坐标，导出电磁场的广义力为 （2.5.14） 3.拉格朗日-麦克斯韦方程 设 为机械系统的动能，势能和瑞利耗散函数， 列写系统的拉格朗日方程（1.3.38） 时，除了考虑机械系统的广义力 以外，还必须考虑电 磁系统的广义力 由于L=T-V，又因为势能V和广义速度 无关