数学-多种函数交叉综合问题.doc

5 多种函数交叉综合问题 【例1】将直线沿轴向下平移后，得到的直线与轴交于点，与双曲线交于点． ⑴求直线的解析式； ⑵若点的纵标为，求的值（用含有的式子表示）． 【思路分析】这种平移一个一次函数与反比例函数交与某一点的题目非常常见，一模中有多套题都是这样考法。题目一般不难，设元以后计算就可以了。本题先设平移后的直线，然后联立即可。比较简单,看看就行. 【解析】将直线沿轴向下平移后经过x轴上点A（）， 设直线AB的解析式为． 则． 解得． ∴直线AB的解析式为． 　　　图3 （2）设点的坐标为， ∵直线经过点， ∴． ∴． ∴点的坐标为， ∵点在双曲线上， ∴． ∴． 【例2】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点． （1）求出这两个函数的解析式； （2）结合函数的图象回答：当自变量x的取值范围满足什么条件时， 【思路分析】第一问直接看图写出A，B点的坐标（-6,-2）(4,3)，直接代入反比例函数中求m，建立二元一次方程组求k,b。继而求出解析式。第二问通过图像可以直接得出结论。本题虽然简单，但是事实上却有很多变化。比如不给图像，直接给出解析式求的区间，考生是否依然能反映到用图像来看区间。数形结合是初中数学当中非常重要的一个思想，希望大家要活用这方面的意识去解题。 【解析】 解：（1）由图象知反比例函数的图象经过点B(4，3)， ∴．　　　　∴m=12． - ∴反比例函数解析式为． 由图象知一次函数的图象经过点A(－6，－2) ， B(4，3)， ∴ 解得 -- ∴一次函数解析式为． （2）当0x4或x－6时，． 【例3】已知：如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点 （1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式； （2）根据图象回答，在第一象限内，当取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？ （3）是反比例函数图象上的一动点，其中，过点作直线轴，交轴于点；过点作直线轴交轴于点，交直线于点．当四边形的面积为6时，请判断线段与的大小关系，并说明理由． 【思路分析】第一问由于给出了一个定点，所以直接代点即可求出表达式。第二问则是利用图像去分析两个函数的大小关系，考生需要对坐标系有直观的认识。第三问略有难度，一方面需要分析给出四边形OADM的面积是何用意,另一方面也要去看BM,DM和图中图形面积有何关系.视野放开就发现四边形其实就是整个矩形减去两个三角形的剩余部分,直接求出矩形面积即可.部分同学会太在意四边形的面积如何求解而没能拉出来看,从而没有想到思路,失分可惜. 【解析】 解：（1）将分别代入中， 得，， ∴，． ∴反比例函数的表达式为：； 正比例函数的表达式为． （2）观察图象得，在第一象限内，当时， 反比例函数的值大于正比例函数的值． （3）． 理由：∵， ∴，即． ∵， ∴． ∴．（很巧妙的利用了和的关系求出矩形面积） ∴． ∴． ∴ 　 【例4】已知：与两个函数图象交点为，且，是关于的一元二次方程的两个不等实根，其中为非负整数． （1）求的值； （2）求的值； （3）如果与函数和交于两点（点在点的左侧），线段，求的值． 【思路分析】本题看似有一个一元二次方程，但是本质上依然是正反比例函数交点的问题。第一问直接用判别式求出k的范围，加上非负整数这一条件得出k的具体取值。代入方程即可求出m，n，继而求得解析式。注意题中已经给定mn,否则仍然注意要分类讨论。第三问联立方程代入以后将A,B表示出来，然后利用构建方程即可。 【解析】（1） ∵为非负整数，∴ ∵为一元二次方程 ∴ (2)把代入方程得, 解得 ∵ ∴ 把代入与 可得 (3)把代入与 可得，，由，可得 解得，经检验为方程的根。 ∴ 【例5】已知：如图，一次函数与反比例函数的图象在第一象限的交点为． （1）求与的值； （2）设一次函数的图像与轴交于点，连接，求的度数． 【思路分析】如果一道题单纯考正反比例函数是不会太难的，所以在中考中经常会综合一些其他方面的知识点。比如本题求角度就牵扯到了勾股定理和特定角的三角函数方面，需要考生思维转换要迅速。第一问比较简单，不说了。第二问先求出A,B具体点以后本题就变化成了一道三角形内线段角的计算问题，利用勾股定理发现OB=OA,从而∠BAO=∠ABO,然后求出∠BAO即可。 解：（1）∵点在双曲线上， ∴ 又∵在直线上， ∴ . （2）过点A作AM⊥x轴于点M. ∵ 直线与轴交于点， ∴ . 解得 . ∴ 点的坐标为. ∴ . ∵点的坐标为， ∴. 在Rt△中，, ∴. ∴.- 由勾股