2015届江苏省填空题难题汇总(教师版).doc

填空题 难题汇总 01 题设，若函数存在整数零点，则的取值集合为∈Z．若m=0，则x= -5为函数f(x)的整数零点． 若m≠0，则令f(x)=0，得m=∈N．注意到-5≤x≤10，且∈N，得x∈{1，6，9，10}，此时m∈{3，，14，30}．故m的取值集合为{0，3，14，30}． 注 将“m∈N”改为“m∈N*”，即得2011年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷的填空题的压轴题：已知m是正整数，且方程有整数解，则m所有可能的值是 ▲ ． 题2(淮安一模已知数列满足且对任意的正整数当时都有的值是是以1为公差的等差数列==2013． 变式1 已知数列满足且对任意的正整数当时都有的值是=3． 变式2 已知数列满足且对任意的正整数当时都有，则数列{cn}的通项公式是，故bn=2n．同理，an=，通项公式为． 题3(常州一若对任意的xD，均有f1(x)x∈[1，2e]上恒成立． 当x∈[1，2e]时，函数f(x)=(k-1)x-1的图象为一条线段，于是解得k≥2． 另一方面，k-1≤在x∈[1，2e]上恒成立． 令(x)==，则． 因1≤x≤2e，故≥0，于是函数为增函数．所以≥0， ≥0，m(x)为[1，2e]上的增函数．所以k-1≤[m(x)]min=m(1)=1，k≤2． 综上，k=2为所求． 题4(泰州一模已知是锐角△的外接圆的圆心，且θ，若则．用θ表示． 又∠AOE=∠OAF==， 所以，所以．同理，． 因，故． 因，故上式可化为， 即，所以m=sinθ． 解法2 将等式两边同乘以，得 ，即．由正弦定理，得 m==cosBsinC+cosCsinB=sin(B+C)=sinA=sinθ． 解法3 将已知等式两边平方，得 ．由正弦定理，得 m2== ===sin2A=． 注意到m0，故m=sinθ． 注 1．本题虽难度较大，但得分率却较高．其主要原因是考生利用了特值法，令△ABC为正三角形，即得m=，于是猜测m=sinθ． 2．题中三种解法均是处理向量问题最常用的基本方法，解法1用的是平面向量基本定理，从不同侧面表示；解法2与解法3，是或将向量等式两边同乘某个向量，或将等式两边同时平方，进而达到去除向量的目的． 题5(南京一模若直角坐标平面内两点PQ满足条件：P，Q都在函数的图象上；P，Q关于原点对称，则称点对P，Q是函数的一个友好点对点对P，Q与Q，P为同一个友好点对．已知函数则的友好点对有个． 解设则问题化归为关于的方程即)有几个负数解问题记，当时，，所以的图象与有两个交点(如图)，且横坐标均为负数，故所求友好点对共2个． 镇江一模直线与函数)的图象相切于点，且，为坐标原点，为图象的极值点，与轴交于点，过点作轴的垂线，垂足为，则． 解为极值点，．设点，．于是，直线l的方程 为．令y=0，得，从而BC=． =BC2=． 题7(扬州一模若函数f(x)=x3-ax2(a0)在区间上是单调递增函数，则使方程有整数解的实数的个数是，得x=0或．于是，f(x)的单调增区间为和． 所以，即0a≤10．因f(x)的极大值为f(0)=0，故f(x)=1000的整数解只能在上取得． 令x3-ax2=1000，则a=．令g(x)=，则0，故g(x)在为增函数． 因g(10)=0，g(15)=，故方程f(x)=1000的整数解集为{11，12，13，14}． 从而对应的实数a亦有4个不同的值． 题8(苏州一模在平面直角坐标系xOy中，点P是第一象限内曲线上的一个动点，过P作切线与坐标轴交于AB两点，则的面积的最小值是，0)， ．令=0，得a=，且可判断此时S取最小值，值为． 题9(盐城一模已知函数， 设且函数的零点均在区间内则的最小值为=当x≥0时，；当-1x0时，；当x-1时，，故函数f(x)为R上的增函数，于是函数f(x)在R上最多只有一个零点． 因f(0)=10，f(-1)=0，故f(0)f(-1)0，因而f(x)在R上唯一零点在区间(-1，0)上，于是f(x+3)的唯一零点在区间(-4，-3)上．同理可得，函数g(x)为R上的减函数，于是函数f(x)在R上最多只有一个零点．又g(1)=0， g(2)=0，于是g(1)g(2)0，因而g(x)在R上唯一零点在区间(1，2)上，于是g(x-3)的唯一零点在区间(4，5)上． 所以，F(x)的两零点落在区间[-4，5]上，b-a的最小值为9． 注 不少考生想对复杂的函数表达式进行求和变形化简，结果当然是徒劳而返，得分率非常低．导数法是解决高次函数或复杂函数的强有力的工具． 题10(南通一模已知等腰三角形腰上的中线长为，则该三角形的面积的最大值 是．，且AE=3GE． 所以，， 当且仅当∠BGC=，即BG⊥GC时，△ABC的面积取最大值2． 变式1 在等腰三角形A