4不等式的应用.doc

不等式的应用 一、知识梳理： 1.几个重要不等式（1） （2）若则（当仅当a=b时取等号） （3）如果a,b都是正数，那么 （当仅当a=b时取等号） 2、最值定理：若则： ①如果P是定值, 那么当x=y时，S的值最___________； ②如果S是定值, 那么当x=y时，P的值最_______________. 注意： ① 前提：“一正、二定、三相等”，如果没有满足前提，则应根据题目创设情境；还要注意选择恰当的公式； ② “和定 积最大，积定 和最小”，可用来求最值； ③ 均值不等式具有放缩功能，如果有多处用到，请注意每处取等的条件是否一致。 3、不等式的应用是不等式的重点内容，它在中学数学有着广泛的应用，主要表现在： (1)求函数的定义域、值域； (2)求函数的最值； (3)讨论函数的单调性； (4)研究方程的实根分布； (5)求参数的取值范围； (6)解决与不等式有关的应用题. 4、不等式与数学各知识点联系紧密，主要有: ①运用不等式研究函数问题（单调性、最值等）； ②运用不等式研究方程解的问题； ③运用不等式研究几何关系问题（如相切、相交、相离，圆内、圆外）. 5、数学有关知识点转化为不等式问题，其转化的途径有： ①利用几何意义； ②利用判别式； ③应用变量的有界性； ④应用函数的单调性； ⑤应用均值不等式. 二、填空题 1、（*）若实数a、b满足_________ 2、（*）函数的值域为 3、（*）函数在区间上恒为正，则的取值范围是 4、（*）若函数，则与的大小关系是 5、（**）当时，不等式恒成立，则的取值范围是 6、（**）已知，则不等式的解集是 _________ 7、（**）若正数a、b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是___________ 8、（**）已知f(x)、g(x)都是奇函数，f(x)＞0的解集是(a2，b)，g(x)＞0的解集是(，)，则f(x)·g(x)＞0的解集是x、y，则使恒成立的实数的取值范围是____________. 10、（***）若不等式，在上恒成立，则的取值范围是 　 方法提炼： 三、解答题 11、（*）若，且，求证：． 方法提炼： 12、（*）老师给学生出了这样一道题：“已知两正数x,y 满足x+y=1,求z=的最小值．” 两个学生甲，乙的解法分别是： 甲解：因为对a0,恒有,从而z=4,所以z的最小值是4。 乙解：，所以z的最小值是。 请你分析他们谁解的对，为什么？如果都不对，请写出你的解题过程。 方法提炼： 13、（**）若，求的最大值和最小值。 方法提炼： 14、（**） 围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x(单位：元)。 （Ⅰ）将y表示为x的函数： （Ⅱ）试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用 方法提炼： 15、（***）已知f(x)是定义在[—1，1]上的奇函数，且f (1)=1，若m、n∈[—1，1]，m+n≠0 （1）判断f (x)在[—1，1]上的单调性，并证明你的结论； （2）解不等式:； （3）若f (x)≤对所有x∈[—1，1]，∈[—1，1]恒成立，求实数t的取值范围． 方法提炼： 　答案：1、 4 2、 3、 0＜a＜2 4、 5、 6、 7、ab≥9 8、 9、 10、 11、证明：，又，，， ，即．同