4.2一元二次方程的解法（判别式）.doc

4.2一元二次方程的解法（4） 班级 姓名 学号 学习目标1、能用b2－4ac的值判别一元二次方程根的情况2、用公式法解一元二次方程的过程中，进一步理解代数式b2－4ac对根的情况的判断作用 学习重点：学习难点： 情境引入： 1.一元二次方程的求根公式时什么？用公式法解一元二次方程的一般步骤是什么？ 一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当b2-4ac≥0时，它的根是 用公式法解一元二次方程首先要把它化为一般形式，进而确定a、b、c的值，再求出b2-4ac的值，当b2-4ac≥0的前提下，再代入公式求解；当b2-4ac＜0时，方程无实数 解(根) 2.用公式法解下列方程： ⑴ x2＋x－1 = 0 ⑵ x2－2x＋3 = 0 ⑶ 2x2－2x＋1 = 0 3．观察上面解一元二次方程的过程，一元二次方程的根的情况与一元二次方程中二次项系数、一次项系数及常数项有关吗？能否根据这个关系不解方程得出方程的解的情况呢？ 二、探究学习： 1．尝试： 不解方程，你能判断下列方程根的情况吗？ ⑴ x2＋2x－8 = 0 ⑵ x2 = 4x－4 ⑶ x2－3x = －3 （答案：（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根） 问题：你能得出什么结论？ 可以发现b2－4ac它的符号决定着方程的解。 2．概括总结． 由此可以发现一元二次方程ax2＋bx＋c = 0（a≠0）的根的情况可由b2－4ac来判定： 当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根 当b2－4ac = 0时，方程有两个相等的实数根 当b2－4ac ＜ 0时，方程没有实数根 我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c = 0（a≠0）的根的判别式。 若已知一个一元二次方程的根的情况，是否能得到判别式的值的符号呢？ 当一元二次方程有两个不相等的实数根时，b2－4ac＞0 当一元二次方程有两个相等的实数根时， b2－4ac = 0 当一元二次方程没有实数根时，b2－4ac ＜ 0 3.概念巩固： （1）方程3x2+2=4x的判别式b2-4ac= ，所以方程的根的情况是 . 下列方程中，没有实数根的方程（ ） A.x2=9 B.4x2=3(4x-1) C.x(x+1)=1 D.2y2+6y+7=0 （3）方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根，那么总成立的式子是（ ） A.b2-4ac＞0 B. b2-4ac＜0 C. b2-4ac≤0 D. b2-4ac≥0 4.典型例题： 例1不解方程，判断下列方程根的情况： 1、； 2、； 3、 4、x2-2mx+4（m-1）=0 解：1.∵b2-4ac=24-4×（-1）×（-6）=0 ∴该方程有两个相等的实数根 2. 移项，得x2+4x-2=0 ∵b2-4ac=16-4×1×（-2）=16-（-8）=16+8=24＞0 ∴该方程有两个不相等的实数根 3. 移项，得4x2+3x+1=0 ∵b2-4ac=9-4×4×1=9-16=-7＜0 ∴该方程没有实数根 4. ∵b2-4ac=（2m）2-4×1×4（m-1）=4m2-16（m-1）=4m2-16m+16=（2m-4）2≥0 ∴该方程有两个实数根 例2 ：m为任意实数，试说明关于x的方程x2-（m-1）x-3（m+3）=0恒有两个不相等的实数根。 解： ∵不论m取任何实数，总有（m+5）2≥0 ∴b2-4ac=（m+5）2+12≥12＞0 ∴不论m取任何实数，上述方程总有两个不相等的实数根 例3：m为何值时，关于x的一元二次方程2x2-（4m+1）x+2m2-1=0： （1）有两个不相等的实数根？ （2）有两个相等的实数根？ （3）没有实数根？ 解：∵a=2，b=-（4m+1），c=2m2-1 ∴b2-4ac=〔-（4m+1）〕2-4×2（2m2-1）=8m+9 若方程有两个不相等的实数根，则b2-4ac＞0 即8m+9＞0 ∴m＞ 若方程有两个相等的实数根，则b2-4ac=0 即8m+9=0 ∴m= 若方程没有实数根，则b2-4ac＜0 即8m+9＜0 ∴m＜ ∴当m＞时，方程有两个不相等的实数根 当m=时，方程有两个相等的实数根 当m＜时，方程没有实数