1.3.1辗转相除法(欧几里得算法).ppt

1.3算 法 案 例 ——辗转相除法（欧几里得算法） 与更相减损术 2 求两个正数a=204和b=85的最大公约数。 练习1：利用辗转相除法求两数4081与20723的最大公约数. 20723=4081×5+318; 4081=318×12+265; 318=265×1+53; 265=53×5+0. 思考1：从上面的步骤中可以得出辗转相除法算法步骤为： 思考:你能用当型循环结构构造算法，求两个正整数的最大公约数吗?写出算法步骤、程序框图和程序。 思考：你能根据更相减损术设计程序，求两个正整数的最大公约数吗？ S1:给定两个正整数 m,n不妨设mn; S2：若m,n都是偶数，则不断用2约简，使它们不同时是偶数，约简后的两个数仍记为m,n; S3：d=m-n; S4:判断“d≠n”是否成立。若是，则将n,d中的较大者记为m，较小者记为n，返回s3;否则，2kd(k时约简整数的2的个数)为所求的最大公约数。 * * 3 5 9 15 [问题1]：在小学，我们已经学过求最大公约数的知识，你能求出18与30的最大公约数吗？ 〖创设情景，揭示课题〗 18 30 2 3 ∴18和30的最大公约数是2×3=6. 先用两个数公有的质因数连续去除,一直除到所得的商是互质数为止,然后把所有的除数连乘起来. 17 练习1、求两个正整数的最大公约数 （1）求25和35的最大公约数 （2）求49和63的最大公约数 2、求204与85的最大公约数 25 （1） 5 5 35 7 49 （2） 7 7 63 9 所以，25和35的最大公约数为5 所以，49和63的最大公约数为7 分析：204与85两数都比较大，而且没有明显的公约数，如能把它们都变小一点，根据已有的知识即可求出最大公约数 204＝85×2＋34 显然204的最大公约数也必是85的约数，同样204与85的公约数也必是34的约数，所以204与85的最大公约数也是85与34的最大公约数。 85＝34×2＋17 34＝17×2+0 则17为204与85的最大公约数。 这就是辗转相除法 辗转相除法（欧几里得算法） 用辗转相除法求8251和6105的最大公约数 第一步 用两数中较大的数除以较小的数，求得商和余数8251=6105×1+2146 结论： 8251和6105的公约数就是6105和2146的公约数，求8251和6105的最大公约数，只要求出6105和2146的公约数就可以了。 第二步 对6105和2146重复第一步的做法6105=2146×2+1813同理6105和2146的最大公约数也是2146和1813的最大公约数。 完整的过程 8251=6105×1+2146 6105=2146×2+1813 2146=1813×1+333 1813=333×5+148 333=148×2+37 148=37×4+0 例2 用辗转相除法求225和135的最大公约数 225=135×1+90 135=90×1+45 90=45×2 显然37是148和37的最大公约数，也就是8251和6105的最大公约数 显然45是90和45的最大公约数，也就是225和135的最大公约数 (53) 利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下： 第一步：用较大的数m除以较小的数n得到一个商q0和一个余数r0；(m=n×q0+r0) 第二步：若r0＝0，则n为m，n的最大公约数；若r0≠0，则用除数n除以余数r0得到一个商q1和一个余数r1；(n=r0×q1+r1) 第三步：若r1＝0，则r0为m，n的最大公约数；若r1≠0，则用除数r0除以余数r1得到一个商q2和一个余数r2；(r0=r1×q2+r2) …… 依次计算直至rn＝0，此时所得到的rn-1 即为所求的最大公约数。 S1：给定两个正整数m,n S2：用大数除以小数，计算m除以n所得的余数； S3：除数变成被除数，余数变成除数，即 m=n , n=r S4：重复S2,直到余数为0，即 若r=0，则m, n 的最大公约数为m，否则返回S2 辗转相除法是一个反复执行直到余数等于0停止的步骤，这实际上是一个循环结构。 8251=6105×1+2146 6105=2146×2+1813 2146=1813×1+333 1813=333×5+148 333=148×2+37 148=37×4+0 m = n × q ＋ r 用程序框图表示出右边的过程 r=m MOD n m = n n = r r=0? 是 否 r=m MOD n m = n n = r r=0? 是 否 开始 输入两个正数m,n 输出m,n 结束 INPUT m,n D