13.3.6函数应用举例(一).doc

课 题：3.6函数应用举例1 教学目的： 1．了解数学建模，会根据实际问题确定函数模型； 2．掌握根据已知条件建立函数关系式； 3.培养学生的数学应用意识. 教学重点：根据已知条件建立函数关系式 教学难点：数学建模意识. 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教学过程： 一、复习引入： 1．数学是预测的重要工具，而预测是管理和决策的依据，就像汽车的明亮的前灯一样，良好的预测展示的前景有助于决策者根据这些条件来采取行动． 在我们考察不同的预测方法之前，必须指出：预测既是一门科学，也是一门艺术．科学预测的力量在于：经过长期的实践，职业的预测者胜过那些没有受过专业训练的、非系统的、或使用非科学方法——例如根据月亮的盈亏来预测的人．我国数学工作者在对天气、台风、地震、病虫害、海浪等的研究方面进行过大量的统计，对数据进行处理，拟合出一些直线或曲线，用于进行预测和控制．例如，中科院系统对我国粮食产量的预测. 连续11年与实际产量的平均误差只有1％． 二、新授内容： 数学模型与数学建模 数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时，所得出的关于实际问题的数学描述. 数学模型方法，是把实际问题加以抽象概括，建立相应的数学模型，利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法. 三、讲解范例： 例1 用长为m的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架（如图），若矩形底边长为2x，求此框架的面积y与x的函数式，并写出它的定义域. 分析：所求框架面积由矩形和半圆组成，数量关系较为明确，而且题中已设出变量，所以属于函数关系的简单应用. 解：如图，设AB=2x，则CD弧长=πx,于是AD= 因此y=2x·,即y=- 再由解之得0＜x＜ 即函数式是y=-·+mx定义域是：（0，） 小结：（1）数学应用题的能力要求①阅读理解能力；②抽象概括能力；③数学语言的运用能力；④分析、解决数学问题的能力； （2）解答应用题的基本步骤 ①合理、恰当假设；②抽象概括数量关系，并能用数学语言表示；③分析、解决数学问题；④数学问题的解向实际问题的还原. 例2 如图所示，有一块半径为R的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是⊙O的直径，上底CD的端点在圆周上，写出这个梯形周长y和腰长x间的函数式，并求出它的定义域. 分析：要用腰长表示周长的关系式，应该知道等腰梯形各边的长，下底长已知为2R，两腰长为2x,因此，只须用已知量（半径R）和腰长x把上底表示出来，即可写出周长y与腰长x的函数式. 解：如图所示，AB=2R，C、D在⊙O的半圆周上,设腰长AD=BC=x，作DE⊥AB，垂足为E，连结BD，那么∠ADB是直角，由此Rt△ADE∽Rt△ABD.∴AD2=AE·AB，即AE= ∴CD=AB-2AE=2R-所以，y=2R+2x+(2R-),即y=-+2x+4R. 再由, ∴周长y与腰长x的函数式为：y=-(+2x+4R),定义域为：（0，R） 评述：例4是实际应用问题.解题过程是从问题出发，引进数学符号，建立函数关系式，再研究函数关系式的定义域，并结合问题的实际意义做出回答，这个过程实际上就是建立数学模型的一种最简单的情形. 四、练习： 1.将一个底面圆的直径为d的圆柱截成横截面为长方形的棱柱，若这个长方形截面的一条边长为x对角线长为d截面的面积为A求面积A以x为自变量的函数式并写出它的定义域. ,所以S=x,定义域为：{x|0＜x＜d 2.如图，有一块边长为a的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出体积V以x为自变量的函数式，并讨论这个函数的定义域. 解：∵底面边长为a-2x,∴底面积为(a-2x) 又长方体高为x,∴长方体体积V=x(a-2x) 由a-2x＞0,得x＜ 又x＞0,∴函数定义域为{x|0＜x＜ 五、小结 通过本节学习，大家应对数学建模有所了解，并能根据已知条件建立函数关系式，逐步掌握解决实际问题的能力. 六、课后作业： 1.建筑一个容积为8000 m3，深为6 m的长方体蓄水池，池壁的造价为a元/m2,池底的造价为2a元/m2,把总造价y(元)表示为底的一边长为x(m)的函数. 解：设底面的另一边长为z(m)，则根据题意有6xz=8000,z= 池壁造价为a·(2x+2z)·6=12a(x+) 池底造价为2a·a 所以，总造价：y=［12a(x+)+a］(元) 2.如图，灌溉渠的横截面是等腰梯形，底宽2 m，边坡的倾角为45°，水深h m，求横断面中有水面积A（m2）与水深h(m)的函数关系式 解：如图，作AC⊥CE，BD⊥CE， ∴Rt△BDE面积：h，矩形面积：2h ∴A=S矩+2=2h+2×h=h+2h(m) 七、板书设计（略） 八、课后记：