19抛物线的几何性质.doc

? 2.4.2? 抛物线的几何性质 ? 教学目标： ? 知识与技能： 从抛物线的标准方程出发，了解抛物线的几何性质 ? 过程与方法：通过方程，几何图形，研究曲线的性质，使学生进一步体验类比及数形结合等思想方法的运用，提高学生的观察与探究能力； ? 情感态度与价值观：通过教师指导下的学生交流探索活动，培养学生用联系的观点认识问题。 ?教学重难点重点：了解抛物线的几何性质 ?难点：抛物线的几何性质的应用 ?问题1：我们可以怎样研究抛物线的几何性质？ ?利用抛物线的标准方程研究抛物线的几何性质． ?问题2：从哪些方面研究抛物线的几何性质？ ，求它的标准方程． 分析：首先由已知点坐标代入方程，求参数p． 解：由题意，可设抛物线方程为，因为它过点， 所以 ，即 。 因此，所求的抛物线方程为． 例2、 已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M(-3，m)5，求抛物线的方程和m的值． 解法一：由焦半径关系，设抛物线方程为y2=-2px(p＞0) 因为抛物线上的点M(-3，m)MF与到准线的距离相等 所以，即，由此得p=4 因此，所求抛物线方程为又点M(-3m)在此抛物线上，故m2=-8(-3)． 因此或 解法二：由题设列两个方程，可求得pm．由题意知抛物线的方程为，焦点是， 因点在抛物线上且|MF|=5 解之得或 因此，抛物线的方程为，的值为或 例3 探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯的圆的直径60cm，灯深为40cm，求抛物线的标准方程和焦点位置．分析：这是抛物线的实际应用题，设抛物线的标准方程后，根据题设条件，可确定抛物线上一点坐标，从而求出p值． 解：如图，在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合，x轴垂直于灯口直径．设抛物线的标准方程是 (p＞0)．由已知条件可得点A的坐标是(40，30)，代入方程，得，。所求的抛物线标准方程为． 例4. 斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线相交于两点A、B，求线段AB的长. 分析：例2是直线与抛物线相交问题，可通过联立方程组求解交点坐标，然后由两点间距离公式求解距离；若注意到直线恰好过焦点，便可与抛物线定义发生联系，利用抛物线定义将AB分段转化成点A、B到准线距离，从而达到求解目的. 解法一：如图，由抛物线的标准方程可知，抛物线焦点的坐标为F（1，0），所以直线AB的方程为y=x－1. ① 将方程①代入抛物线方程y2=4x,得（x－1）2=4x 化简得x2－6x＋1=0 解之得：将x1，x2的值分别代入方程①中，得 即A、B坐标分别为、. 解法二：在图中，由抛物线的定义可知，|AF|等于点A到准线x=－1的距离同理 于是得|AB|=|AF|+|BF|=x1＋x2＋2.由此可以看到，本题在得到方程x2－6x＋1=0后，根据根与系数关系可以直接得到x1＋x2=6于是可以求出|AB|=6+2=8. 说明：解法二由于灵活运用了抛物线的定义，所以减少了运算量，提高了解题效率. 例的焦点F的一条直线与这抛物线相交于A、B两点，且、． 求证：， 证明： （1）当AB与x轴不垂直时，设AB方程为： 由得： 此方程的两根y1y2分别是A、B两点的纵坐标，则有． （2）当轴时，因为直线的方程为， 所以，或， 则 （五）课堂小结 ?抛物线的几何性质 ?1．范围． ?2．对称性． ?3．顶点． ?4．离心率：e＝1．