18抛物线及其标准方程.doc

2.4.1 抛物线的标准方程 一、教学目标 （一）知识与技能 （1）掌握抛物线的定义、几何图形（2）会推导抛物线的标准方程（3）能够利用给定条件求抛物线的标准方程 （二）过程与方法 通过“观察”、“思考”、“探究”与“合作交流”等一系列数学活动，培养学生观察、类比、分析、概括的能力以及逻辑思维的能力，使学生学会数学思考与推理，学会反思与感悟，形成良好的数学观。并进一步感受坐标法及数形结合的思想。 （三）情感态度与价值观 进一步培养学生合作、交流的能力和团队精神，培养学生实事求是、善于观察、勇于探索、严密细致的科学态度；激发学生积极主动地参与数学学习活动，养成良好的学习习惯；同时通过欣赏生活中一些抛物线型建筑，不但加强了学生对抛物线的感性认识，而且使学生受到美的享受，陶冶了情操。 二、教学重难点 重点：抛物线的定义及标准方程 难点： 抛物线定义的形成过程及抛物线标准方程的推导（关键是坐标系方案的选择） 三、教学过程 （一）课题引入 1.在初中，我们学习了二次函数，知道二次函数的图象是一条抛物线，例如：（1），（2）的图象（展示两个函数图象）： 师：……那么，如果问你怎么样的曲线是抛物线，你可以回答我吗？它具有怎样的几何特征？它的方程是什么呢？这就是我们今天要研究的内容。 2.几何画板演示画图过程 点F是定点，是不经过点F的定直线，H是上任意一点，过点H作，线段FH的垂直平分线交MH于点M。拖动点H，观察点M的轨迹，你能发现点M满足的几何条件吗？ （二）自学导案 （三）解决自学导案 （四）例题讲解 例1、（1）已知抛物线标准方程是，求它的焦点坐标和准线方程 　 （2）已知抛物线的焦点坐标是F（0，－2），求它的标准方程 分析：（1）在标准方程下焦点坐标和准线方程都是用p的代数式表示的，所以只要求出p即可； 　　（2）求的是标准方程，因此所指抛物线应过原点，结合焦点坐标求出p，问题易解。 解析：（1）p＝3，焦点坐标是（，0）准线方程是x＝－．（2）焦点在y轴负半轴上，＝2， 所以所求抛物线的标准议程是． 例2、 已知抛物线的标准方程是（1）y2＝12x，（2）y＝12x2，求它的焦点坐标和准线方程． 分析：这是关于抛物线标准方程的基本例题，关键是（1）根据示意图确定属于哪类标准形式，（2）求出参数p的值． 解：（1）p＝6，焦点坐标是（3，0）准线方程是x＝－3． （2）先化为标准方程，，焦点坐标是（0，），准线方程是y＝－. 例3、 求满足下列条件的抛物线的标准方程： （1）焦点坐标是F（－5，0）；（2）经过点A（2，－3） 分析：抛物线的标准方程中只有一个参数p，因此，只要确定了抛物线属于哪类标准形式，再求出p值就可以写出其方程，但要注意两解的情况（如第（2）小题）. 解：（1）焦点在x轴负半轴上，＝5，所以所求抛物线的标准议程是． （2）经过点A（2，－3）的抛物线可能有两种标准形式： y2＝2px或x2＝－2py． 点A（2，－3）坐标代入，即9＝4p，得2p＝ 点A（2，－3）坐标代入x2＝－2py，即4＝6p，得2p＝∴所求抛物线的标准方程是y2＝x或x2＝－y 例、点M与点F（4，0）的距离比它到直线l:x+5=0的距离小1，求点M的轨迹方程. 分析：由已知，点M属于集合 将|MF|用点的坐标表示出来，化简后就可得到点M的轨迹方程，但这种解法的化简过程比较繁琐. 仔细分析题目的条件，不难发现：首先，点M的横坐标x应满足x＞－5,即点M应在直线l的右边，否则点M到F的距离大于它到l的距离；其次，“点M与点F的距离比它到直线l：x+5=0的距离小1”，就是“点M与点F的距离等于它到直线x+4=0的距离”，由此可知点M的轨迹是以F为焦点，直线x+4=0为准线的抛物线. 解：如图，设点M的坐标为（x，y）. 由已知条件可知，点M与点F的距离等于它到直线x+4=0的距离.根据抛物线的定义，点M的轨迹是以F（4，0）为焦点的抛物线. 因为焦点在x轴的正半轴上，所以点M的轨迹方程为：y2=16x 说明：此题为抛物线定义的灵活应用，应强调学生加强对抛物线定义的理解与认识. ； ③焦点到准线的距离为4。 2、求下列抛物线的焦点和准线方程：①， ② （五）课堂小结 让学生回忆并小结、提炼本节课学习内容： 1、抛物线的定义 2、抛物线的标准方程有四种不同的形式 3、p的几何意义是: 焦点到准线的距离 4、标准方程中p前面的正负号决定抛物线的开口方向． （六）课外作业 2